Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ như sau:
$\left\{\begin{matrix}u_1=2016,v_1=2017 \\ u_n=\frac{1}{3}(2u_{n-1}+v_{n-1}),\\ v_n=\frac{1}{3}(2v_{n-1}+u_{n-1})(\forall n=2,3,...) \end{matrix}\right.$
Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n,\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n$.
(Cách 1)
Ta có $3(v_{n}+\alpha u_n)= (2+\alpha) v_{n-1}+(2\alpha+1) u_{n-1}.$
Chọn $\alpha\in \mathbb{R}: \frac{1}{\alpha}= \frac{2+\alpha}{2\alpha+1}$
Hay $\alpha=1 \vee \alpha=-1.$
Lần lượt xét $\alpha=1;-1$, ta có
$$\begin{cases}v_{n}+ u_n= v_{n-1}+u_{n-1},\\ (v_{n}-\alpha u_n)= \frac{1}{3}\left(v_{n-1}-u_{n-1}\right).\end{cases}$$
Do đó $$\begin{cases} u_n+v_n=2016+2017,\\ v_n-u_n= \frac{1}{3^{n-1}}.\end{cases}$$
Giải hệ trên, ta có công thức tường minh cho $u_n, v_n$. Từ đó, ta dễ dàng chỉ ra sự tồn tại cũng như xác định giới hạn của mỗi dãy.
Note (cũng là cách 2):
(Đọc không kỹ đề nên có phần dưới)
Ta có $$v_{n}-u_n= \frac{1}{3} \left(v_{n-1}-u_{n-1}\right).$$
Hơn nữa vì $u_1<v_1$ nên $u_n< v_n \forall n\in \mathbb{N}.$
Từ đó, ta có được $u_n>u_{n-1}, v_n< v_{n-1} \forall n\ge 2.$
Hơn nữa, $v_n>u_n>u_1=2016, u_n<v_n<v_1=2017.$
Do đó $\{u_n\}$ và $\{v_n\}$ hội tụ. Dễ dàng suy ra giới hạn của chúng bằng nhau.
Nhờ vào tính chất $u_n+v_n= v_{n-1}+u_{n-1}=2016+2017$ nên suy ra
$\lim u_n= \lim v_n =\frac{2016+2017}{2}.$