Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 22/10/2016
Bài 1 (4 điểm). Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
\[\dfrac{1}{\left(1+a\right)^3}+\dfrac{1}{\left(1+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(1+c\right)^3}+\dfrac{3}{32}\left(ab+bc+ca\right)\geqslant \dfrac{21}{32}\]
Bài 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm $f(x)$ xác định trên tập hợp số thực và nhận giá trị thực, sao cho với mọi $x$, $y$ thực ta có:
\[f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)\]
Bài 3 (4 điểm). Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp một đường tròn. Một đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$, cắt đường thẳng $CD$ tại $F$. Gọi $I_1$, $I_2$ và $I_3$ tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABE$, $ECF$ và $FAD$. Chứng minh rằng đường thẳng $\Delta$ đi qua trực tâm của tam giác $I_1I_2I_3$.
Bài 4 (4 điểm). Tô màu luân phiên các đỉnh của $2n$-giác lồi bởi hai màu đỏ và xanh. Xét tất cả các đường chéo của đa giác mà hai đầu mút khác màu. Tìm số giao điểm lớn nhất nằm trong đa giác của tất cả các đường chéo đó.
Bài 5 (4 điểm). Cho $x$, $y$, $z$ là ba số thực dương thoả mãn $xyz\geqslant 1$ và $z\leqslant 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[F=\dfrac{x}{1+y}+\dfrac{y}{1+x}+\dfrac{4-z^3}{3\left(1+xy\right)}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 22-10-2016 - 16:05