Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐỘI TUYỂN (Đà Nẵng, ngày 21/10/2016)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 22-10-2016 - 17:39

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐỘI TUYỂN  (Đà Nẵng, ngày 21/10/2016)

(Nguồn: Anh Trần Quốc Hưng- 12A1-THPT chuyên LQD-DN)

Bài 1: Cho các số thực $x_0,x_1,...,x_{n+1}$ thỏa mãn điều kiện:

$(i)\text{   } 0=x+0<x_1<x_2<...<x_n<x_{n+1}=1$.

$(ii)\text{   }\sum_{j=0,j\ne i}^{n+1}\frac{1}{x_i-x_j}=0,i=1,2,...,n $.

Chứng minh rằng: $x_{n+1-i}=1-x_i,i=1,2,...,n$.

Bài 2: Cho số nguyên dương $n$, giả sử $(a_1,a_2,...,a_n)$ và $(b_1,b_2,...,b_n)$ là hai hoán vị của dãy $(1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{n})$ thỏa mãn điều kiện: $a_1+b_1\ge a_2+b_2\ge ...\ge a_n+b_n(*)$.

a) Chứng minh: $a_k+b_k<\frac{k}{4},k=1,2,...,n$.

b) Chứng minh rằng với mỗi số $c>1$ luôn tồn tại một số tự nhiên $n$ sao cho có hai hoán vị $(a_1,a_2,...,a_n)$ và $(b_1,b_2,...,b_n)$ của $(1,\frac{1}{2},..,\frac{1}{n})$ thỏa $(*)$ và $a_n+b_n>\frac{4-c}{n}$.

Bài 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(sin(x))=Q(x),\forall x\in [0;1]$  

Bài 4: Chứng minh rằng từ $19$ số tự nhiên tùy ý, luôn tìm được $2$ số sao cho hiệu các bình phương của chúng chia hết cho $36$.

Bài 5: Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 22-10-2016 - 18:19

Bài 5:

Áp dụng Bổ đề LTE quen thuộc:

Cho $n$ là số nguyên dương và $x,y$ lẻ sao cho $4|(x-y)$. 

Thì: $v_2{(x^n-y^n)}=v_2{(x-y)}+v_2{(n)}$

Từ điều kiện đầu bài, ta có: $v_2(2013^n-1)\geq 2014$.

Mặt khác $4|(2013-1)$.

Nên: $v_2(2013-1)+v_2(n)\geq 2014\Rightarrow n\geq 2^{2012}$.

Vậy $n_{min}=2^{2012}$.


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$

#3 yagami wolf

yagami wolf

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đã gửi 23-10-2016 - 10:32

Bài 4: 

theo dirichlet trong 19 số tự nhiên thì tồn tại 10 số có cùng số dư khi chia cho 2 

trong 10 số này thì tồn tại 4 số có cùng số dư khi chia cho 3 

trong 4 số đó chọn ra 2 số là x và y 

Ta có $x^2-y^2\vdots 4$

           $x^2-y^2\vdots 9$

Mà $(4;9)=1$

suy ra đpcm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh