Cho tam giác ABC có đường cao AK=BC, trực tâm H . M, N lần lượt là trung điểm của AK và BC. Chứng minh HM=HN
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 23-10-2016 - 09:41
Cho tam giác ABC có đường cao AK=BC, trực tâm H . M, N lần lượt là trung điểm của AK và BC. Chứng minh HM=HN
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 23-10-2016 - 09:41
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Vẽ đường tròn đường kính $BK$ vắt $(KAC)$ tại $H'$ dễ cm tam giác $ H'BC $ = tam giác $H'KA$ suy ra $H'M=H'N$ , tương tự lấy đường tròn đường kính $KC$ cắt $(KAB)$ tại $H"$ tương tự có $H"N=H"M$ , ta sẽ chứng minh $H$ thuộc $H"H'$ , Có $KB.KC=KH.KA=KH.BC$ kẻ các đường vuống góc từ $H".H'$ xuống $BC$ dó tạo hình thang và tỉ số nên $H$ thuộc $H'H"$ suy ra $HM=HN$
Đây là 1 bài toán hay mình xin đóng góp thêm một lời giải nữa của minh:
Ta có: $HM=AH-MA=AH-\dfrac{AK}{2}=AH-\dfrac{BC}{2}$ do đó $HM^2=AH^2+\dfrac{BC^2}{4}-AH.BC$. Lại theo định lí $Pythagoras$ thì: $HN^2=HK^2+KN^2=(AK-AH)^2+(AN^2-AK^2)=AK^2-2AK.AH+AH^2+AN^2-AK^2=AN^2-2BC.AH+AH^2$. Vậy điều phải chứng minh tương đương: $AH^2+\dfrac{BC^2}{4}-AH.BC=AN^2-2BC.AH+AH^2\Leftrightarrow \dfrac{BC^2}{4}-AH.BC=AN^2-2BC.AH\Leftrightarrow AN^2-NB^2=AH.BC\Leftrightarrow AN^2-NB^2=AH.AK=P_{A/(BC)}$(đúng)(bởi nếu ta gọi $E,F$ là hình chiếu của $B,C$ lên $AC,AB$ thì $AF.AB=AH.AK=AE.AC=P_{A/(BC)}$). Vậy ta thu được: $HM^2=HN^2$ hay $HM=HN$(đpcm).
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh