Chủ đề này có 2 trả lời

[Namthemaster1234]

Cho tam giác ABC có đường cao AK=BC, trực tâm H .  M, N lần lượt là trung điểm của AK và BC. Chứng minh HM=HN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 23-10-2016 - 09:41

[ecchi123]

Vẽ đường tròn đường kính $BK$ vắt $(KAC)$ tại $H'$ dễ cm tam giác $ H'BC $ = tam giác $H'KA$ suy ra $H'M=H'N$ , tương tự lấy đường tròn đường kính $KC$ cắt $(KAB)$ tại $H"$ tương tự có $H"N=H"M$ , ta sẽ chứng minh $H$ thuộc $H"H'$ , Có $KB.KC=KH.KA=KH.BC$ kẻ các đường vuống góc từ $H".H'$ xuống $BC$ dó tạo hình thang và tỉ số  nên $H$ thuộc $H'H"$ suy ra $HM=HN$ 

[dangkhuong]

Đây là 1 bài toán hay mình xin đóng góp thêm một lời giải nữa của minh:

Ta có: $HM=AH-MA=AH-\dfrac{AK}{2}=AH-\dfrac{BC}{2}$ do đó $HM^2=AH^2+\dfrac{BC^2}{4}-AH.BC$. Lại theo định lí $Pythagoras$ thì: $HN^2=HK^2+KN^2=(AK-AH)^2+(AN^2-AK^2)=AK^2-2AK.AH+AH^2+AN^2-AK^2=AN^2-2BC.AH+AH^2$. Vậy điều phải chứng minh tương đương: $AH^2+\dfrac{BC^2}{4}-AH.BC=AN^2-2BC.AH+AH^2\Leftrightarrow \dfrac{BC^2}{4}-AH.BC=AN^2-2BC.AH\Leftrightarrow AN^2-NB^2=AH.BC\Leftrightarrow AN^2-NB^2=AH.AK=P_{A/(BC)}$(đúng)(bởi nếu ta gọi $E,F$ là hình chiếu của $B,C$ lên $AC,AB$ thì $AF.AB=AH.AK=AE.AC=P_{A/(BC)}$). Vậy ta thu được: $HM^2=HN^2$ hay $HM=HN$(đpcm). 

Hình gửi kèm

•