Bài 1: Cho dãy số $a_{n}$ xác định bởi $a_{0}=1$ và $a_{n+1}=\frac{7a_{n}+\sqrt{45a_{n}^{2}-36}}{2}$ với $\forall n\in \mathbb{N}$.
a/ Chứng minh $a_{n+1}=7a_{n}-a_{n-1}$, từ đó suy ra $a_{n}$ nguyên dương với $\forall n\in \mathbb{N}$.
b/Chứng minh $a_{n}.a_{n+1}-1$ là số chính phương.
Bài 2: Cho dãy số $u_{n}$ thỏa mãn $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}, n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng
$u_{n+2}.u_{n}-u_{n+1}^{2}=\left ( -b \right )^{n}\left ( u_{2}u_{0}-u_{1}^{2} \right ), \forall n\geq 1$
Bài 2 :
Xét phương trình đặc trưng:
$x^2-ax-b=0$ có 2 nghiệm phân biệt ( $a^2+4b>0$) $x_{1};x_{2}$
Ta có : $U_{n}=\alpha .x_{1}^{n}+\beta x_{2}^{n}$
$U_{n+2}.U_{n}-U_{n+1}^2=(-b)^2.(U_{2}U_{0}-U_{_{1}})$
$\Leftrightarrow (\alpha .x_{1}^{n+2}+\beta x_{2}^{n+2})(\alpha .x_{1}^{n}+\beta x_{2}^{n})-(\alpha .x_{1}^{n+1}+\beta x_{2}^{n+1})^2$
$=\alpha \beta (x_{1}x_{2})^n.(x_{1}^2+x_{2}^2-2x_{1}x_{2})$
$=\alpha \beta (-b)^n(x_{2}-x_{1})^2$
$=\alpha \beta (-b)^n.(a^2+b)$
$=(-b)^n.(U_{2}U_{0}-U_{1}^2)$
Đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 29-10-2016 - 11:15