Chủ đề này có 2 trả lời

[ngocloan]

tìm các số nguyên dương $a,b$ sao cho $\frac{a^2+b}{b^2-a}$ và $\frac{b^2+a}{a^2-b}$ đều là số nguyên.

 

giúp mk với ạ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 23-10-2016 - 18:26

[IHateMath]

Bài này nằm trong đề thi $APMO2002$. Lời giải có ở link:https://mks.mff.cuni...ln/asol022.html

[Kamii0909]

Viết  lại cách trên dễ hiểu hơn. Ta viết lại điều kiện $\left\{\begin{matrix} b^2-a|a^2+b\\ a^2-b|b^2+a \end{matrix}\right.$

Từ đó $\left\{\begin{matrix} a^2+b \geq b^2-a\\ b^2+a \geq a^2-b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-b+1)(a+b)\geq 0\\ (b-a+1)(a+b) \geq 0 \end{matrix}\right.$

Do $a+b >0$ nên $\left\{\begin{matrix} a-b+1 \leq 0\\ b-a+1 \leq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (a-b+1)(b-a+1) \leq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 \leq 1$

Giả sử $a \geq b$ thì $a=b+1$ hoặc $a=b$

Nếu $a=b+1$ thì $a^2-a-1|a^2+3a+1$ hay $a^2-a-1|4a+2$

Từ đó $a^2-a-1 \leq 4a +2$ suy ra $a \leq 5$. Thay lại tìm $b$ 

Nếu $a=b$ thì $a^2-a|a^2+a$ hay $a^2-a|2a$ nên $a(a-3) \leq 0$ 

Vậy $a \leq 3 $ Thay lại ta tìm được nốt.