Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm các số nguyên dương sao cho $\frac{a^2+b}{b^2-a}$ và $\frac{b^2+a}{a^2-b}$ đều là số nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 ngocloan

ngocloan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Nghe nhạc, xem phim, ăn uống, giày

Đã gửi 23-10-2016 - 18:23

tìm các số nguyên dương $a,b$ sao cho $\frac{a^2+b}{b^2-a}$ và $\frac{b^2+a}{a^2-b}$ đều là số nguyên.

 

giúp mk với ạ  :wacko:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 23-10-2016 - 18:26


#2 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 23-10-2016 - 18:33

Bài này nằm trong đề thi $APMO2002$. Lời giải có ở link:https://mks.mff.cuni...ln/asol022.html



#3 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 29-10-2016 - 16:25

Viết  lại cách trên dễ hiểu hơn. Ta viết lại điều kiện $\left\{\begin{matrix} b^2-a|a^2+b\\ a^2-b|b^2+a \end{matrix}\right.$

Từ đó $\left\{\begin{matrix} a^2+b \geq b^2-a\\ b^2+a \geq a^2-b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-b+1)(a+b)\geq 0\\ (b-a+1)(a+b) \geq 0 \end{matrix}\right.$

Do $a+b >0$ nên $\left\{\begin{matrix} a-b+1 \leq 0\\ b-a+1 \leq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (a-b+1)(b-a+1) \leq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 \leq 1$

Giả sử $a \geq b$ thì $a=b+1$ hoặc $a=b$

Nếu $a=b+1$ thì $a^2-a-1|a^2+3a+1$ hay $a^2-a-1|4a+2$

Từ đó $a^2-a-1 \leq 4a +2$ suy ra $a \leq 5$. Thay lại tìm $b$ 

Nếu $a=b$ thì $a^2-a|a^2+a$ hay $a^2-a|2a$ nên $a(a-3) \leq 0$ 

Vậy $a \leq 3 $ Thay lại ta tìm được nốt. 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh