Giải phương trình sau trên tập số nguyên:
$11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$
Giải phương trình sau trên tập số nguyên:
$11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$
Từ giả thiết suy ra $x,y>0\iff 10+10^x+6^x=3^{\frac{y!}{2}}-1$
Ta có: $v_2(3^{\frac{y!}{2}}-1)=1+v_2(\frac{y!}{2})=1+v_2(y!)-v_2(2)=v_2(y!)$
Dễ thấy $v_2(10+10^x+6^x)=v_2(2)+v_2(5+2^{x-1}5^x+2^{x-1}3^x)=1$
Suy ra $2||y!$ kéo theo $y=2$ hoặc $y=3$
Từ đây ta tìm được $(x,y)=(1,3)$
Dễ thấy $x,y>0$ . Lúc đó xét $y \ge 4 \Rightarrow x>1$ ta có $4|(\sqrt{3})^{y!}-1$
Mà ta có $10+10^x+6^x \equiv 2+2.2^x \equiv 2 \pmod{4}$ vô lí
Do đó $y <4$ từ đó suy ra $(x,y)=(1,3)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 24-10-2016 - 21:08
Một lời giải khác.
Dễ thấy $x,y\geq 0$.
Với $x=0$ không tìm được $y$.
Với $x=1$ thì $y=3$.
Xét $y\geq 4$, ta có:
$y!=8k, k\in \mathbb{N}, k> 0$.
Do đó $VP\equiv 1(mod 10)$.
Mà $VT\equiv 7(mod10)$. Nên $y\geq 4$ không thỏa mãn.
Vậy $(x,y)=(1,3)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 26-10-2016 - 08:19
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh