Đến nội dung

Hình ảnh

GPT: $11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$ với $x,y\in \mathbb{Z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Giải phương trình sau trên tập số nguyên:

$11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Giải phương trình sau trên tập số nguyên:

$11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$

Từ giả thiết suy ra $x,y>0\iff 10+10^x+6^x=3^{\frac{y!}{2}}-1$

Ta có: $v_2(3^{\frac{y!}{2}}-1)=1+v_2(\frac{y!}{2})=1+v_2(y!)-v_2(2)=v_2(y!)$

Dễ thấy $v_2(10+10^x+6^x)=v_2(2)+v_2(5+2^{x-1}5^x+2^{x-1}3^x)=1$

Suy ra $2||y!$ kéo theo $y=2$ hoặc $y=3$

Từ đây ta tìm được $(x,y)=(1,3)$



#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Dễ thấy $x,y>0$ . Lúc đó xét $y \ge 4 \Rightarrow x>1$ ta có $4|(\sqrt{3})^{y!}-1$ 
Mà ta có $10+10^x+6^x \equiv 2+2.2^x \equiv 2 \pmod{4}$ vô lí
Do đó $y <4$  từ đó suy ra $(x,y)=(1,3)$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 24-10-2016 - 21:08


#4
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Một lời giải khác.

Dễ thấy $x,y\geq 0$.

Với $x=0$ không tìm được $y$.

Với $x=1$ thì $y=3$.

Xét $y\geq 4$, ta có:

$y!=8k, k\in \mathbb{N}, k> 0$.

Do đó $VP\equiv 1(mod 10)$.

Mà $VT\equiv 7(mod10)$. Nên $y\geq 4$ không thỏa mãn.

Vậy $(x,y)=(1,3)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 26-10-2016 - 08:19

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh