Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

GPT: $11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$ với $x,y\in \mathbb{Z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 24-10-2016 - 18:24

Giải phương trình sau trên tập số nguyên:

$11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$

#2 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 24-10-2016 - 20:22

Giải phương trình sau trên tập số nguyên:

$11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$

Từ giả thiết suy ra $x,y>0\iff 10+10^x+6^x=3^{\frac{y!}{2}}-1$

Ta có: $v_2(3^{\frac{y!}{2}}-1)=1+v_2(\frac{y!}{2})=1+v_2(y!)-v_2(2)=v_2(y!)$

Dễ thấy $v_2(10+10^x+6^x)=v_2(2)+v_2(5+2^{x-1}5^x+2^{x-1}3^x)=1$

Suy ra $2||y!$ kéo theo $y=2$ hoặc $y=3$

Từ đây ta tìm được $(x,y)=(1,3)$



#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 24-10-2016 - 21:08

Dễ thấy $x,y>0$ . Lúc đó xét $y \ge 4 \Rightarrow x>1$ ta có $4|(\sqrt{3})^{y!}-1$ 
Mà ta có $10+10^x+6^x \equiv 2+2.2^x \equiv 2 \pmod{4}$ vô lí
Do đó $y <4$  từ đó suy ra $(x,y)=(1,3)$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 24-10-2016 - 21:08


#4 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 26-10-2016 - 08:14

Một lời giải khác.

Dễ thấy $x,y\geq 0$.

Với $x=0$ không tìm được $y$.

Với $x=1$ thì $y=3$.

Xét $y\geq 4$, ta có:

$y!=8k, k\in \mathbb{N}, k> 0$.

Do đó $VP\equiv 1(mod 10)$.

Mà $VT\equiv 7(mod10)$. Nên $y\geq 4$ không thỏa mãn.

Vậy $(x,y)=(1,3)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 26-10-2016 - 08:19

$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh