Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+(y+z)^2}\geq \frac{3}{5}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
misakichan

misakichan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Cho x,  y, z khác 0:

CMR: $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+(y+z)^2}\geq \frac{3}{5}$



#2
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

http://diendantoanho...um-fraca2a2bc2/


Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#3
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

Ta cã 

 

Cho x,  y, z khác 0:

CMR: $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+(y+z)^2}\geq \frac{3}{5}$

BĐT phụ cauchy-schawrz:

\[x,y > 0 \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{x{b^2}}}{y} + \frac{{y{a^2}}}{x} \geqslant 2ab\left( {theo\,\,cauchy} \right)\]

\[ \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} + \frac{{{c^2}}}{z} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}} + \frac{{{c^2}}}{{{z^2}}} \geqslant \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}\]

Áp dụng:

 
   \[P = \sum {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2}}} = \sum {\frac{{{x^4}}}{{{x^4} + {x^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}}}} } \]
\[ \geqslant \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2} + 2xyz\left( {x + y + z} \right)}}\]
\[Do\,\,2xyz\left( {x + y + z} \right) \leqslant 2\left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)\]
\[ \leqslant \frac{2}{3}{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^4}\]
\[ \Rightarrow P \geqslant \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2} + \frac{2}{3}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}} = \frac{3}{5}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 24-10-2016 - 21:17

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh