Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a_n=(p+1)^n+Q(n)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 24-10-2016 - 20:05

Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $\forall m\in \mathbb{Z}$ luôn tồn tại đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên sao cho $p^m$ là ước lớn nhất của các số $a_n=(p+1)^n+Q(n)$ với $n=1,2,..$



#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 26-10-2016 - 16:44

Bổ đề : Cho $m \in \mathbb{N^*}$ thì với mọi $a$ là số tự nhiên và $k<m$ thì luôn tồn tại $b_kp^m+p^k$ là bội của $k!$ 
Chứng minh bổ đề : Giả sử $k!=p^{\alpha_k}m_k,\alpha$ là số tự nhiên và $(m_k,p)=1$ 
Suy ra $\{ep^{m-k},e=0,1,2,..,m_k-1\}$ lập thành một hệ thặng dư đầy đủ mod $m_k$ 
$\Rightarrow$ tồn tại $b_k$ sao cho $m_k|b_kp^{m-k}+1 \Rightarrow p^km_k|(b_kp^m+p^k)$ 
Mặt khác ta có $\alpha_k=\sum_{i=1}^{+\infty} [\frac{k}{p_i}] \le \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{k}{p_i}=k[-1+\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{p^i}] (1)$ 
(1) $\Leftrightarrow \alpha_k \le \frac{k}{p-1} \le k$ 
Vậy $ p^{\alpha_k}m_k|(b_kp^m+p^k)$ và bổ đề được chứng minh.
Quay về bài toán : 
Đặt $f_i(x)=\frac{x(x-1)...(x-i+1)}{i!}$ suy ra nếu $n \ge i$ thì $f_i(x)=C_n^i$ và nếu $0 \le n<i$ thì $f_i(x)=0$ 
Đặt $R(x)=-\sum_{i=0}^{m-1} f_i(x)(b_i.p^m+p_i)$ lúc đó $R(x)$ là đa thức hệ số nguyên 
Ta có $u_n=(p+1)^n+R(n)$
$u_n=\sum_{i=1}^nC_n^ip^i-\sum_{i=0}^{m-1}f_i(n)(b_ip^m+p^i) \equiv [\sum_{i=1}^nC_n^ip^i-\sum_{i=0}^{m-1}f_i(n)p_i] \pmod{p^m}$ 
Hay $u_n \equiv  [\sum_{i=1}^{+\infty} f_i(n)p^i-\sum_{i=0}^{m-1}f_i(n)p_i] \equiv \sum_{i=m}^{+\infty} f_i(n)p^i \pmod{p^m} \equiv 0 \pmod{p^m}$ 
Đặt $u_1=(p+1)^n+R(1)=p^me,e$ là số nguyên 
Xét đa thức $Q(x)=R(x)+p^m(1-e)$ ta sẽ chứng minh $Q$ thỏa mãn 
Ta sẽ kiểm tra : $a_n=(p+1)^n+Q(n)=(p+1)^n+R(n)+p^m(1-e)=u_n+p^m(1-e) ,\forall n=1,2,..$ 
Mà $a_1=u_1+p^m(1-e)=p^m$ . 
Vậy ta có điều phải chứng minh 
 



#3 that bai

that bai

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:vùng đất thất bại
  • Sở thích:thất bại

Đã gửi 27-10-2016 - 21:26

Bổ đề : Cho $m \in \mathbb{N^*}$ thì với mọi $a$ là số tự nhiên và $k<m$ thì luôn tồn tại $b_kp^m+p^k$ là bội của $k!$ 
Chứng minh bổ đề : Giả sử $k!=p^{\alpha_k}m_k,\alpha$ là số tự nhiên và $(m_k,p)=1$ 
Suy ra $\{ep^{m-k},e=0,1,2,..,m_k-1\}$ lập thành một hệ thặng dư đầy đủ mod $m_k$ 
$\Rightarrow$ tồn tại $b_k$ sao cho $m_k|b_kp^{m-k}+1 \Rightarrow p^km_k|(b_kp^m+p^k)$ 
Mặt khác ta có $\alpha_k=\sum_{i=1}^{+\infty} [\frac{k}{p_i}] \le \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{k}{p_i}=k[-1+\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{p^i}] (1)$ 
(1) $\Leftrightarrow \alpha_k \le \frac{k}{p-1} \le k$ 
Vậy $ p^{\alpha_k}m_k|(b_kp^m+p^k)$ và bổ đề được chứng minh.
Quay về bài toán : 
Đặt $f_i(x)=\frac{x(x-1)...(x-i+1)}{i!}$ suy ra nếu $n \ge i$ thì $f_i(x)=C_n^i$ và nếu $0 \le n<i$ thì $f_i(x)=0$ 
Đặt $R(x)=-\sum_{i=0}^{m-1} f_i(x)(b_i.p^m+p_i)$ lúc đó $R(x)$ là đa thức hệ số nguyên 
Ta có $u_n=(p+1)^n+R(n)$
$u_n=\sum_{i=1}^nC_n^ip^i-\sum_{i=0}^{m-1}f_i(n)(b_ip^m+p^i) \equiv [\sum_{i=1}^nC_n^ip^i-\sum_{i=0}^{m-1}f_i(n)p_i] \pmod{p^m}$ 
Hay $u_n \equiv  [\sum_{i=1}^{+\infty} f_i(n)p^i-\sum_{i=0}^{m-1}f_i(n)p_i] \equiv \sum_{i=m}^{+\infty} f_i(n)p^i \pmod{p^m} \equiv 0 \pmod{p^m}$ 
Đặt $u_1=(p+1)^n+R(1)=p^me,e$ là số nguyên 
Xét đa thức $Q(x)=R(x)+p^m(1-e)$ ta sẽ chứng minh $Q$ thỏa mãn 
Ta sẽ kiểm tra : $a_n=(p+1)^n+Q(n)=(p+1)^n+R(n)+p^m(1-e)=u_n+p^m(1-e) ,\forall n=1,2,..$ 
Mà $a_1=u_1+p^m(1-e)=p^m$ . 
Vậy ta có điều phải chứng minh 
 

bạn có thể giải cách khác dễ hiểu được không  :ukliam2:  (~~)  (~~)  >:)  :like






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh