Chứng minh không gian tích $XxY$ của hai không gian Metric là compact khi và chỉ khi X,Y là compact
#2
Đã gửi 24-10-2016 - 20:36
bangbang1412
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 1668 Bài viết
Độc cô cầu bại
$(=>)$ Gọi $d$ là metric trên tích .Giả sử có dãy $z_{n}=(x_{n},y_{n})$ trích ra một dãy con $(z_{n_{k}})$ hội tụ về trong $XxY$ tức là
$$lim z_{n_{k}}=lim (x_{n_{k}},y_{n_{k}})=(a,b) \in XxY$$
$$lim d ((x_{n_{k}},y_{n_{k}}),(a,b))=0$$
Vậy với mỗi $\epsilon>0$ ta có
$$d_{X}(x_{n_{k}},a)^{2}+d_{Y}(y_{n_{k}},b)^{2} < \epsilon$$
$$d_{X}(x_{n_{k}},a),d_{Y}(y_{n_{k}},b) < \sqrt{\epsilon}$$
$$lim x_{n_{k}}=a \in X,lim y_{n_{k}}=b \in Y$$ ( theo định nghĩa metric tích mỗi metric trên $X,Y$ tiến tới $0$ )
Vậy tức là $X,Y$ cùng compact
$(<=)$ Giả sử $X,Y$ cùng xét một dãy $z_{n}=(x_{n},y_{n})$ , gọi $A$ là hai tập chỉ số sao cho hai dãy con $(x_{i})_{i \in A}$ hội tụ trong $X$ , xét dãy $(y_{i})_{i \in A}$ cũng phải có một dãy con hội tụ , gọi tập chỉ số của nó là $B$ thế thì $(z_{i})_{i \in B}$ là dãy hội tụ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 24-10-2016 - 23:03
- LNH yêu thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
