Chủ đề này có 1 trả lời

[frozen2501]

$(a+b)^{6}+(b+c)^{6}+\left ( c+a \right )^{6}\geq \frac{16}{61}(a^{6}+b^{6}+c^{6})$

[NTA1907]

$(a+b)^{6}+(b+c)^{6}+\left ( c+a \right )^{6}\geq \frac{16}{61}(a^{6}+b^{6}+c^{6})$

Đặt $a+b=x,b+c=y,c+a=z\Rightarrow a=\frac{z+x-y}{2},b=\frac{x+y-z}{2},c=\frac{y+z-x}{2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$x^{6}+y^{6}+z^{6}\geq \frac{16}{61}\left [ \left ( \frac{y+z-x}{2} \right )^{6}+\left ( \frac{z+x-y}{2} \right )^{6}+\left ( \frac{x+y-z}{2} \right )^{6} \right ]$

$\Leftrightarrow (y+z-x)^{6}+(z+x-y)^{6}+(x+y-z)^{6}\leq 244(x^{6}+y^{6}+z^{6})$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn:

$(y+z-x)^{6}+(z+x-y)^{6}+(x+y-z)^{6}+(x+y+z)^{6}\leq 244(x^{6}+y^{6}+z^{6})$

Khai triển vế trái bất đẳng thức trên và áp dụng AM-GM ta được:

$(y+z-x)^{6}+(z+x-y)^{6}+(x+y-z)^{6}+(x+y+z)^{6}=4(x^{6}+y^{6}+z^{6})+60(x^{4}y^{2}+y^{4}z^{2}+z^{4}x^{2})+60(x^{2}y^{4}+y^{2}z^{4}+z^{2}x^{4})+360x^{2}y^{2}z^{2}\leq 244(x^{6}+y^{6}+z^{6})$

Vậy ta có đpcm.