Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Cho n là số nguyên dương 

C/m:$\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n+k\\ k \end{pmatrix}=\sum_{k=0}^{n}2^{k}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}^{2}$

[the unknown]

Ta sẽ đếm hệ số của $x^n$ của $(1+2x)^n(1+x)^n$ bằng hai cách.

Cách 1: Ta có $(1+2x)^n(1+x)^n=\sum _{k=0}^{n}2^kx^k\binom{n}{k}\sum _{j=0}^{n}\binom{n}{j}x^j=\sum _{k=0}^n\sum _{j=0}^n2^k\binom{n}{k}\binom{n}{j}x^{k+j}$.

Từ đó suy ra hệ số của $x^n$ là $\sum _{j+k=n}2^k\binom{n}{k}\binom{n}{j}=\sum _{k=0}^n2^k\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=\sum _{k=0}^n2^k\binom{n}{k}^2$.

Cách 2: Ta có: $(1+2x)^n(1+x)^n=((1+x)^2+x(1+x))^n=\sum _{k=0}^n\binom{n}{k}(1+x)^{2k}x^{n-k}(1+x)^{n-k}=\sum _{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}(1+x)^{n+k}$.

Hệ số của $x^k$ trong $(1+x)^{n+k}$ là $\binom{n+k}{k}$. Suy ra hệ số của $x^n$ trong $(1+2x)^n(1+x)^n$ là $\sum _{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

P.s: Lâu lắm rồi mới quay lại diễn đàn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 27-11-2016 - 10:03