Chủ đề này có 4 trả lời

[NTMFlashNo1]

Tìm n là số nguyên dương sao cho $2^{n}+1\vdots n^{2}$

[royal1534]

Tìm n là số nguyên dương sao cho $2^{n}+1\vdots n^{2}$

Bài này trong IMO 1990 . 
Lời giải : 

Xét $n=1$ (thỏa)

 

Xét $n>1$ :

Trước hết ta chứng minh $3 \mid n$

Từ giả thiết ta có : $n \mid 2^n+1 \Leftrightarrow 2^{2n} \equiv 1$ ($mod$ n)

Gợi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ và $h=ord_{n}(2)$

$\Rightarrow$ $2^{2n} \equiv 1$ ($mod$ $p$) và $2^h \equiv 1$ ($mod$ $p$)

Theo định lý Fermat nhỏ ta cũng có : $2^{p-1} \equiv 1 $($mod$ $p$)

$\Rightarrow h \mid p-1 , h \mid 2n$

$\Rightarrow h \mid (p-1,2n) = 2$ (Vì $p-1<p \mid n$ nên $(p-1,n)=1$)

$\Rightarrow h=2$ (Dễ thấy $h=1$ không thỏa)

Từ đó ta có $p \mid 2^2-1=3 \Rightarrow 3 \mid n$

---------------------------------

Đặt $n=3^k.y ($Với $k,y \in N, (y,3)=1 )$

Từ giả thiết ta có : $v_{3}(n^2) \leq v_{3}(2^n+1)$

$\Leftrightarrow 2k \leq k+1$ 

$\Leftrightarrow k=1$

Suy ra $n=3y$ (với $i \in N, (i,3)=1)$

Giả sử $y>1$. Gọi $q$ là một ước nguyên tố của $y$ (q khác 3)

Tương tự như trên suy ra $q \mid 2^{(2n,q-1)}-1 \mid 2^6-1=63 \rightarrow q=7$

Dẫn tới $7 \mid 2^n+1$ (Dễ thấy điều này vô lý vì $VP \equiv 1,2,4 (mod 7)$)

Vậy $y=1 \rightarrow n=3 $

Vậy $n=3,n=1$ thỏa đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 30-10-2016 - 07:59

[Baoriven]

IMO 1990 

Hình gửi kèm

• 

[superpower]

Bài này trong IMO 1990 . 
Lời giải : 

Xét $n=1$ (thỏa)

 

Xét $n>1$ :

Trước hết ta chứng minh $3 \mid n$

Từ giả thiết ta có : $n \mid 2^n+1 \Leftrightarrow 2^{2n} \equiv 1$ ($mod$ n)

Gợi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ và $h=ord_{n}(2)$

$\Rightarrow$ $2^{2n} \equiv 1$ ($mod$ $p$) và $2^h \equiv 1$ ($mod$ $p$)

Theo định lý Fermat nhỏ ta cũng có : $2^{p-1} \equiv 1 $($mod$ $p$)

$\Rightarrow h \mid p-1 , h \mid 2n$

$\Rightarrow h \mid (p-1,2n) = 2$ (Vì $p-1<p \mid n$ nên $(p-1,n)=1$)

$\Rightarrow h=2$ (Dễ thấy $h=1$ không thỏa)

Từ đó ta có $p \mid 2^2-1=3 \Rightarrow 3 \mid n$

---------------------------------

Đặt $n=3^k.y ($Với $k,y \in N, (y,3)=1 )$

Từ giả thiết ta có : $v_{3}(n^2) \leq v_{3}(2^n+1)$

$\Leftrightarrow 2k \leq k+1$ 

$\Leftrightarrow k=1$

Suy ra $n=3y$ (với $i \in N, (i,3)=1)$

Giả sử $y>1$. Gọi $q$ là một ước nguyên tố của $y$ (q khác 3)

Tương tự như trên suy ra $q \mid 2^{(2n,q-1)}-1 \mid 2^6-1=63 \rightarrow q=7$

Dẫn tới $7 \mid 2^n+1$ (Dễ thấy điều này vô lý vì $VP \equiv 1,2,4 (mod 7)$)

Vậy $y=1 \rightarrow n=3 $

Vậy $n=3,n=1$ thỏa đề

Chỗ này sai nhé bạn

$(p-1,2n) $ có thể khác 2

Ví dụ $p=5, n=60 $ 

[royal1534]

Chỗ này sai nhé bạn

$(p-1,2n) $ có thể khác 2

Ví dụ $p=5, n=60 $ 

p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n ...