Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển chính thức học sinh giỏi dự thi quốc gia năm 2016-2017 tỉnh Ninh Bình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 30-10-2016 - 09:24

        Sở GD&ĐT Ninh Bình                                                ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC

                                                                                                HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA 

        ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                                  Năm học:2016-2017

                                                                                                                  Môn:Toán

                                                                                                         Ngày thi:28/10/2016

                                                                                      (Thời gian 180 phút , không kể thời gian phát đề)

                                                                                                  Đề thi gồm 05 câu,trong 1 trang

 

Câu 1 (4,0 điểm)

 

Cho $a$ và $b$ là hai số thực thuộc khoảng $(0;1)$ . Dãy số $(u_n)$ được xác định như sau:

 

$$\left\{\begin{matrix} u_0=a & & & \\ u_1=b & & & \\ u_{n+2}=\dfrac{1}{2017}u_{n+1}^4+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_n}\forall n \in N & & & \end{matrix}\right.$$

 

Chứng minh rằng: dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.Tìm giới hạn đó

 

Câu 2 (4,0 điểm).Tìm tất cả các hàm số $f:\left ( 0;+\infty \right )\rightarrow \left ( 0;+\infty \right )$ thỏa mãn:

 

$$f\left ( xf\left ( x \right ) \right )=\frac{9}{xf\left ( x \right )}+\frac{2}{f\left ( x \right )}-1\forall x>0$$

 

Câu 3 (4,0 điểm)

 

Giả sử $q$ là một số nguyên tố , dãy $(u_n)$ được xây dựng như sau:

 

$$\left\{\begin{matrix} u_0=0 & & & \\ u_1=1 & & & \\ u_n=2u_{n-1}-qu_{n-2}\forall n\geq 2,n \in \mathbb{N} & & & \end{matrix}\right.$$

 

Tìm $q$ , biết tồn tại số tự nhiên $k$ để $u_{3k}=-3$

 

Câu 4 (4,0 điểm)

 

Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ di động trên đoạn $BC$ (không trùng với $B$ và $C$ ).Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$ khác $A$.Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt đường thẳng $AB$ tại $E$ khác $A$

 

a)Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng $BF$ và $CE$ luôn di chuyển trên một đường cố định khi $D$ di động trên đoạn $BC$

 

b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ luôn đi qua một điểm cố định

 

Câu 5 (4,0 điểm)

 

a)Có $2016$ là thư khác nhau và $2016$ phong bì ghi sẵn địa chỉ khác nhau.Hỏi có bao nhiêu cách cho mỗi lá thư vào một phong bì sao cho có ít nhất một lá thư được ghi đúng địa chỉ?

 

b)Có bao nhiêu cách lát đường đi hình chữ nhật kích thước $3\times 2n$ ($n$ là số nguyên dương) bằng các viên gạch hình chữ nhật kích thước $1 \times 2$

 

Hết



#2 tqmt

tqmt

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Math, Aircraft

Đã gửi 30-10-2016 - 10:25

Câu hình 

a)Gọi I là giao điểm của BF và CE. Có $\angle IED$=$\angle DAC$=$\angle IBD$=> BEID nội tiếp. Tương tự CDIF nội tiếp 

Có $\angle BID$=$\angle ACB$, $\angle DIC$=$\angle ABC$=> $\angle BIC$=180- $\angle BAC$ không đổi => I thuộc cung BC có số đo không đổi 

b)Gọi K là giao điểm của (AEF) và (BIC). Dễ thấy AEIKF nội tiếp. Ta có $\angle EAK$= $\angle KIC$= $\angle KBC$ => BC là tiếp tuyến tại B của (ABK). Cmtt BC là tiếp tuyến tại C của (ACK). AK cắt BC tại M. Có $BM^{2}$=MK.MA, $CM^{2}$=MK.MA => CM=BM=> K là giao điểm của (BIC) và trung tuyến AM cố định=> dpcm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tqmt: 05-11-2016 - 17:30


#3 takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-10-2016 - 10:41

Câu 1:

Dễ thấy $u_n<1$
Ta lập một dãy số $\left ( v_n \right ):\left\{\begin{matrix} v_1=min\left \{ a,b \right \}\\ v_{n+1}=\frac{1}{2017}v_n^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_n} \end{matrix}\right.$. Ta cũng chứng minh được $v_n<1$

Ta chứng minh $\left ( v_n \right )$ là dãy tăng và bị chặn trên tại $1$ nên có giới hạn $\Rightarrow limv_n=1$

Ta sẽ chứng minh $v_n\leq min\left \{ u_{2n-1},u_{2n} \right \}$. Giả sử điều đó đúng với $n=k$. Xét $n=k+1$, ta có:
$u_{2k+1}=\frac{1}{2016}u_{2k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_{2k-1}}\geq \frac{1}{2016}v_{k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_{k}}=v_{k+1}$

$u_{2k+2}=\frac{1}{2017}u_{2k+1}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_{2k}}\geq \frac{1}{2017}v_{k+1}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_k}\geq \frac{1}{2017}v_{k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_k}=v_{k+1}$. Do đó theo nguyên lý quy nạp ta điều trên đúng.

Suy ra $lim v_n\leq limu_n\leq lim1\Rightarrow limu_n=1$



#4 lenhatsinh3

lenhatsinh3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT An Nhơn 2
  • Sở thích:Pokemon, giải toán

Đã gửi 30-10-2016 - 11:42

Câu 5a thì quen thuộc rồi, là bài toán chia thư, kết quả là 

$2016!\left (1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} -...+\frac{1}{2015!}-\frac{1}{2016!} \right )$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

      :ukliam2:

            :ukliam2:

                  :ukliam2:

             :ukliam2:

        :ukliam2:  

     :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#5 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán Tin trường ĐH KHTN TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Algebra

Đã gửi 30-10-2016 - 15:34

 b) Có bao nhiêu cách lát đường đi hình chữ nhật kích thước $3\times 2n$ ($n$ là số nguyên dương) bằng các viên gạch hình chữ nhật kích thước $1 \times 2$

Gọi $c_{n}$ là số cách lát đường đi hình chữ nhật, với $n\in \mathbb{Z}^{+}.$ Thì dễ thấy $c_{1}=3; c_{2}=11.$

Chia số cách lát đường $3.2n$ thành $n$ loại, trong đó loại thứ $k$ là cách lát mà phần đường đi $3.2k$ đầu tiên được phủ kín hoàn toàn bởi các viên gạch $1.2$ và không tồn tại $i < k$ mà phần đường đi $3.2i$ đầu tiên được phủ kín hoàn toàn.

Gọi $A_{k}$ là các cách lát thuộc loại $k \Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\left | A_{k} \right |.$

Xét $\left | A_{1} \right |:$ Phần đường đi $3.2$ đầu tiên được lát bằng $3$ cách, phần còn lại $3.2(n-1)$ được lát bằng $c_{n-1}$ cách$\Rightarrow \left | A_{1} \right |=3c_{n-1}.$

Xét $\left | A_{k} \right |, k=\overline{2, n}.$ Ta sẽ chứng minh chỉ có $2$ cách lát phần đường đi $3.2k$ cho các cách phủ thuộc $A_{k}.$ Thật vậy:

Các cách phủ thuộc $A_{k}$ phải thỏa mãn cách lát sao cho phần đường đi $3.2$ đầu tiên không được phủ kín bởi viên gạch $1.2.$ Chỉ có $2$ cách xếp như vậy.

Do đó chỉ có $2$ cách phủ phần đường đi $3.2k$ sao cho chúng thuộc $A_{k}$ và $2$ cách đó là hai cách đối xứng nhau. Phần đường $3.2(n-k)$ còn lại được lát bằng $c_{n-k}$ cách$\Rightarrow \left | A_{k} \right |=2c_{n-k} \Rightarrow c_{n+1}=3c_{n}+2c_{n-1}+2c_{n-2}+...+2 \Rightarrow c_{n}=3c_{n-1}+2c_{n-2}+2c_{n-3}+...+2 \Rightarrow c_{n+1}-4c_{n}+c_{n-1}=0.$ Dùng phương trình sai phân tính được: $c_{n}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}.(2+\sqrt{3})^{n}-\frac{1}{\sqrt{3}}.(2-\sqrt{3})^{n}.$ Đó chính là đáp số của bài toán.



#6 Five smail

Five smail

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Math,ăn uống,...

Đã gửi 30-10-2016 - 21:42

Câu 5a thì quen thuộc rồi, là bài toán chia thư, kết quả là 

$2016!\left (1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} -...+\frac{1}{2015!}-\frac{1}{2016!} \right )$

Theo bạn thì tại sao nó lại như thế giải thích giúp


%%-  Nothing is impossible if we try %%-

 


#7 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 31-10-2016 - 00:25

Câu PTH.
Đặt $g(x)=xf(x)$
PT trở thành
$g(g(x))+g(x)=2x+9$
Đến đây thì dễ rồi.
Dế thấy $g$ không thể là hàm hằng.
Gọi bậc của $g(x)$ là $n(n \geq 1)$
Bậc của VP là 1 còn VT là $max(n^2,n)$. Mà $deg VT= deg VP$ nên $n=1$
$g(x)=ax+b$ thì $a=1,b=3$
Thay ngược lên + thử lại thì thỏa mãn
Kết luận $f(x)=1+ \frac {3}{x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 31-10-2016 - 00:28


#8 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-10-2016 - 16:13

Câu PTH.
Đặt $g(x)=xf(x)$
PT trở thành
$g(g(x))+g(x)=2x+9$
Đến đây thì dễ rồi.
Dế thấy $g$ không thể là hàm hằng.
Gọi bậc của $g(x)$ là $n(n \geq 1)$
Bậc của VP là 1 còn VT là $max(n^2,n)$. Mà $deg VT= deg VP$ nên $n=1$
$g(x)=ax+b$ thì $a=1,b=3$
Thay ngược lên + thử lại thì thỏa mãn
Kết luận $f(x)=1+ \frac {3}{x}$

đây cũng phải PTH đa thức

Cũng đặt $g(x)$ như bạn

Tức là ta có $g(g(x)) + g(x)=2x+9 $ 

Xét dãy số $x_0=x , x_1=g(x)$

$x_n= g(g(...(x)...)) $ ($n$ lần $g$ )  

Khi đó, ta dễ có $x_{n+2} + x_{n+1} = 2x_n +9 $ 

Đặt $u_n=x_n-3n $

Khi đó thay vào lại, ta được 

$u_{n+2} + u_{n+1} = 2u_n $

Sai phân, ta tính được

$u_n = c_1.1 + c_2(-2)^n $ 

Cho $n$ lẻ và đủ lớn thì $u_n <0 $ vô lí 

Do đó $c_2=0 $

Tới đây dễ rồi 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 31-10-2016 - 16:21


#9 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-10-2016 - 16:53

Câu 3 (4,0 điểm)

 

Giả sử $q$ là một số nguyên tố , dãy $(u_n)$ được xây dựng như sau:

 

$$\left\{\begin{matrix} u_0=0 & & & \\ u_1=1 & & & \\ u_n=2u_{n-1}-qu_{n-2}\forall n\geq 2,n \in \mathbb{N} & & & \end{matrix}\right.$$

 

Tìm $q$ , biết tồn tại số tự nhiên $k$ để $u_{3k}=-3$

Xét $q=3$, khi đó, ta sẽ có $u_{n+1} \equiv u_n $ (mod $3$ )

Khi đó toàn dãy sẽ đồng dư $1$ theo mod $3$ nên vô lí 

Ta chứng minh được đây là dãy số giảm với mọi $n \geq 3 $

Khi đó, ta xét

TH2: $q=3k+2$

Khi đó $u_2=2 , u_3= 2-3k , u_4 = -12k $

Dễ thấy $-3$ sẽ không có mặt trong dãy 

Do dãy giảm mà $u_4 < -12 $ 

TH2: $q=3k+1 $ 

Xét $q=7$ ta thấy $q=7$ vì thỏa YCBT $u_3=-3 $  

Xét $q>7 $ thì lập luận tương tự trên, ta suy ra ĐPCM



#10 Five smail

Five smail

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Math,ăn uống,...

Đã gửi 31-10-2016 - 21:14

Theo bạn thì tại sao nó lại như thế giải thích giúp

 

Câu 1:

Dễ thấy $u_n<1$
Ta lập một dãy số $\left ( v_n \right ):\left\{\begin{matrix} v_1=min\left \{ a,b \right \}\\ v_{n+1}=\frac{1}{2017}v_n^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_n} \end{matrix}\right.$. Ta cũng chứng minh được $v_n<1$

Ta chứng minh $\left ( v_n \right )$ là dãy tăng và bị chặn trên tại $1$ nên có giới hạn $\Rightarrow limv_n=1$

Ta sẽ chứng minh $v_n\leq min\left \{ u_{2n-1},u_{2n} \right \}$. Giả sử điều đó đúng với $n=k$. Xét $n=k+1$, ta có:
$u_{2k+1}=\frac{1}{2016}u_{2k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_{2k-1}}\geq \frac{1}{2016}v_{k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_{k}}=v_{k+1}$

$u_{2k+2}=\frac{1}{2017}u_{2k+1}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_{2k}}\geq \frac{1}{2017}v_{k+1}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_k}\geq \frac{1}{2017}v_{k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_k}=v_{k+1}$. Do đó theo nguyên lý quy nạp ta điều trên đúng.

Suy ra $lim v_n\leq limu_n\leq lim1\Rightarrow limu_n=1$

Có nhầm lẫn hay sao á dòng thứ 5 là $u_{2k+1}=\frac{1}{2017}u_{2k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_{2k-1}}\geq \frac{1}{2017}v_{k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_{k}}=v_{k+1}$


%%-  Nothing is impossible if we try %%-

 


#11 Huyvippro

Huyvippro

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:đá bóng

Đã gửi 01-11-2016 - 08:47

Có nhầm lẫn hay sao á dòng thứ 5 là $u_{2k+1}=\frac{1}{2017}u_{2k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_{2k-1}}\geq \frac{1}{2017}v_{k}^4+\frac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_{k}}=v_{k+1}$

bạn ấy giải đúng rồi mà mình thấy có gì sai đâu



#12 Puisunjouronestledumonde

Puisunjouronestledumonde

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-11-2016 - 10:17

Theo bạn thì tại sao nó lại như thế giải thích giúp

Bạn xem tại đây http://diendantoanho...nào-bỏ-đúng-bì/



#13 foollock holmes

foollock holmes

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:221B Baker Street, London, England
  • Sở thích:xem Sherlock Holmes, Naruto, hình học phẳng,...

Đã gửi 01-11-2016 - 11:40

Xét $q=3$, khi đó, ta sẽ có $u_{n+1} \equiv u_n $ (mod $3$ )

Khi đó toàn dãy sẽ đồng dư $1$ theo mod $3$ nên vô lí 

Ta chứng minh được đây là dãy số giảm với mọi $n \geq 3 $

Khi đó, ta xét

TH2: $q=3k+2$

Khi đó $u_2=2 , u_3= 2-3k , u_4 = -12k $

Dễ thấy $-3$ sẽ không có mặt trong dãy 

Do dãy giảm mà $u_4 < -12 $ 

TH2: $q=3k+1 $ 

Xét $q=7$ ta thấy $q=7$ vì thỏa YCBT $u_3=-3 $  

Xét $q>7 $ thì lập luận tương tự trên, ta suy ra ĐPCM

cho mình hỏi là bạn chứng minh dãy giảm bằng cách nào thế

ah mình nhầm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi foollock holmes: 01-11-2016 - 11:49


#14 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 01-11-2016 - 22:16

Câu PTH.
Đặt $g(x)=xf(x)$
PT trở thành
$g(g(x))+g(x)=2x+9$
Đến đây thì dễ rồi.
Dế thấy $g$ không thể là hàm hằng.
Gọi bậc của $g(x)$ là $n(n \geq 1)$
Bậc của VP là 1 còn VT là $max(n^2,n)$. Mà $deg VT= deg VP$ nên $n=1$
$g(x)=ax+b$ thì $a=1,b=3$
Thay ngược lên + thử lại thì thỏa mãn
Kết luận $f(x)=1+ \frac {3}{x}$

 

đây cũng phải PTH đa thức

Cũng đặt $g(x)$ như bạn

Tức là ta có $g(g(x)) + g(x)=2x+9 $ 

Xét dãy số $x_0=x , x_1=g(x)$

$x_n= g(g(...(x)...)) $ ($n$ lần $g$ )  

Khi đó, ta dễ có $x_{n+2} + x_{n+1} = 2x_n +9 $ 

Đặt $u_n=x_n-3n $

Khi đó thay vào lại, ta được 

$u_{n+2} + u_{n+1} = 2u_n $

Sai phân, ta tính được

$u_n = c_1.1 + c_2(-2)^n $ 

Cho $n$ lẻ và đủ lớn thì $u_n <0 $ vô lí 

Do đó $c_2=0 $

Tới đây dễ rồi 

Hàm nay chưa chắc là hàm đa thức và cũng không phải hàm trên N (đề cho trên R+) 

2 bạn giải như thế hình như sai rồi :/


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#15 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-11-2016 - 23:40

Hàm nay chưa chắc là hàm đa thức và cũng không phải hàm trên N (đề cho trên R+) 

2 bạn giải như thế hình như sai rồi :/

$R^{+}$ đươc nhé bạn ơi. Bạn xem lại nha



#16 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 01-11-2016 - 23:47

đây cũng phải PTH đa thức
Cũng đặt $g(x)$ như bạn
Tức là ta có $g(g(x)) + g(x)=2x+9 $
Xét dãy số $x_0=x , x_1=g(x)$
$x_n= g(g(...(x)...)) $ ($n$ lần $g$ )
Khi đó, ta dễ có $x_{n+2} + x_{n+1} = 2x_n +9 $
Đặt $u_n=x_n-3n $
Khi đó thay vào lại, ta được
$u_{n+2} + u_{n+1} = 2u_n $
Sai phân, ta tính được
$u_n = c_1.1 + c_2(-2)^n $
Cho $n$ lẻ và đủ lớn thì $u_n <0 $ vô lí
Do đó $c_2=0 $
Tới đây dễ rồi

À mình nhầm sang đa thức. Tks bạn

#17 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 04-11-2016 - 14:04

Theo bạn thì tại sao nó lại như thế giải thích giúp

Xét bài toán sau: Cho bao nhiêu hoán vị của các số {1,2;..n} sao cho có ít nhất 1 phần tử giữ nguyên vị trí ban đầu.

Gọi S là tập hợp các hoán vị của {1,2,3;..n} và $A_i$ là tập hợp các hoán vị {$a_1,a_2,..a_n$} của {1;2;3;..;n} thỏa điều kiện $a_i=i$ với $i=1,2;..n$.

Khi đó ta có:

|S|=n!

$|A_i|=(n-1)!$

 

$|A_i \cap A_j|=(n-2)!\\ .......;\\ |A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3} \cap ... \cap A_{i_k}|=(n-k)! ( 1 \le i_1 <i_2<..<i_k<n)$

Theo nguyên lí bù trừ, ta có:

$|A_1 \cup A_2 \cup .. \cup A_n|=\\ \sum_{i=1}^{n}|A_i|-\sum_{1 \le i < j \le n}(A_i \cap A_j \cap A_k)-..+(-1)^n|A_1 \cap A_2 \cap A_3 ..\cap A_n| \\=C^1_n(n-1)!-C^2_n(n-2)!+..+(-1)^nC^n_n= \\n!(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-+..(-1)^n.\frac{1}{n!})$ 
 
Đây là điều cần cm


#18 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 05-11-2016 - 22:44

 

Câu 3 (4,0 điểm)

 

Giả sử $q$ là một số nguyên tố , dãy $(u_n)$ được xây dựng như sau:

 

$$\left\{\begin{matrix} u_0=0 & & & \\ u_1=1 & & & \\ u_n=2u_{n-1}-qu_{n-2}\forall n\geq 2,n \in \mathbb{N} & & & \end{matrix}\right.$$

 

Tìm $q$ , biết tồn tại số tự nhiên $k$ để $u_{3k}=-3$

 

 

Hết

Giả sử $p,q$ là hai số nguyên tố , dãy $(u_n)$ được xây dựng như sau:

 

$$\left\{\begin{matrix} u_0=0 & & & \\ u_1=1 & & & \\ u_n=pu_{n-1}-qu_{n-2}\forall n\geq 2,n \in \mathbb{N} & & & \end{matrix}\right.$$

 

Tìm tất cả $p,q$ biết tồn tại số tự nhiên $k$ để $u_{3k}=-3$

 

https://toanhocsocap...-day-tuyen.html


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 07-11-2016 - 16:37


#19 lmht

lmht

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Đã gửi 06-11-2016 - 20:54

Gọi $c_{n}$ là số cách lát đường đi hình chữ nhật, với $n\in \mathbb{Z}^{+}.$ Thì dễ thấy $c_{1}=3; c_{2}=11.$

Chia số cách lát đường $3.2n$ thành $n$ loại, trong đó loại thứ $k$ là cách lát mà phần đường đi $3.2k$ đầu tiên được phủ kín hoàn toàn bởi các viên gạch $1.2$ và không tồn tại $i < k$ mà phần đường đi $3.2i$ đầu tiên được phủ kín hoàn toàn.

Gọi $A_{k}$ là các cách lát thuộc loại $k \Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\left | A_{k} \right |.$

Xét $\left | A_{1} \right |:$ Phần đường đi $3.2$ đầu tiên được lát bằng $3$ cách, phần còn lại $3.2(n-1)$ được lát bằng $c_{n-1}$ cách$\Rightarrow \left | A_{1} \right |=3c_{n-1}.$

Xét $\left | A_{k} \right |, k=\overline{2, n}.$ Ta sẽ chứng minh chỉ có $2$ cách lát phần đường đi $3.2k$ cho các cách phủ thuộc $A_{k}.$ Thật vậy:

Các cách phủ thuộc $A_{k}$ phải thỏa mãn cách lát sao cho phần đường đi $3.2$ đầu tiên không được phủ kín bởi viên gạch $1.2.$ Chỉ có $2$ cách xếp như vậy.

Do đó chỉ có $2$ cách phủ phần đường đi $3.2k$ sao cho chúng thuộc $A_{k}$ và $2$ cách đó là hai cách đối xứng nhau. Phần đường $3.2(n-k)$ còn lại được lát bằng $c_{n-k}$ cách$\Rightarrow \left | A_{k} \right |=2c_{n-k} \Rightarrow c_{n+1}=3c_{n}+2c_{n-1}+2c_{n-2}+...+2 \Rightarrow c_{n}=3c_{n-1}+2c_{n-2}+2c_{n-3}+...+2 \Rightarrow c_{n+1}-4c_{n}+c_{n-1}=0.$ Dùng phương trình sai phân tính được: $c_{n}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}.(2+\sqrt{3})^{n}-\frac{1}{\sqrt{3}}.(2-\sqrt{3})^{n}.$ Đó chính là đáp số của bài toán.

Đáp số này chuẩn rồi bạn :) 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh