Tìm tất cả các số nguyên dương m,n thỏa mãn $9^{m}-3^{m}=n^{4}+2n^{3}+n^{2}+2n$
Tìm tất cả các số nguyên dương m,n thỏa mãn $9^{m}-3^{m}=n^{4}+2n^{3}+n^{2}+2n$
#1
Đã gửi 01-11-2016 - 16:39
"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"
#2
Đã gửi 01-11-2016 - 19:55
Đặt $3^m=a$. Ta có hàm số $f\left ( x \right )=x^2-x$ là hàm đồng biến trên $\left [1;+\infty \right )$
Đặt $g\left ( x \right )=x^4+2x^3+x^2+2x$. Ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x+1 \right )=-x\left ( x-1 \right )\leq 0\Rightarrow g\left ( x \right )\leq f\left ( x^2+x+1 \right )\forall x\geq 1$$\Rightarrow f\left ( a \right )\leq f\left ( n^2+n+1 \right )\Rightarrow a\leq n^2+n+1$. Mặt khác, ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x \right )=n\left ( n+3 \right )>0\Rightarrow g\left ( x \right )> f\left ( x^2+x \right )\Rightarrow f\left ( a \right )> f\left ( n^2+n \right )\Rightarrow a>n^2+n$.
Vậy $a=n^2+n+1$. Thay lại vào phương trình ban đầu ta được $\left ( n,m \right )=\left ( 1;1 \right )$
#3
Đã gửi 01-11-2016 - 20:33
Đặt $3^m=a$. Ta có hàm số $f\left ( x \right )=x^2-x$ là hàm đồng biến trên $\left [1;+\infty \right )$
Đặt $g\left ( x \right )=x^4+2x^3+x^2+2x$. Ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x+1 \right )=-x\left ( x-1 \right )\leq 0\Rightarrow g\left ( x \right )\leq f\left ( x^2+x+1 \right )\forall x\geq 1$$\Rightarrow f\left ( a \right )\leq f\left ( n^2+n+1 \right )\Rightarrow a\leq n^2+n+1$. Mặt khác, ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x \right )=n\left ( n+3 \right )>0\Rightarrow g\left ( x \right )> f\left ( x^2+x \right )\Rightarrow f\left ( a \right )> f\left ( n^2+n \right )\Rightarrow a>n^2+n$.
Vậy $a=n^2+n+1$. Thay lại vào phương trình ban đầu ta được $\left ( n,m \right )=\left ( 1;1 \right )$
Mình ms học lớp 9 nên cảm thấy cách giải của bạn hơi khó hiểu, bạn có thể làm cách nào dễ hiểu hơn không?
"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh