Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên dương m,n thỏa mãn $9^{m}-3^{m}=n^{4}+2n^{3}+n^{2}+2n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 thinhtrantoan

thinhtrantoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đào Xá, Thanh Thủy, Phú Thọ
  • Sở thích:Toán, văn, hóa

Đã gửi 01-11-2016 - 16:39

Tìm tất cả các số nguyên dương m,n thỏa mãn $9^{m}-3^{m}=n^{4}+2n^{3}+n^{2}+2n$


"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"

https://www.facebook...htrantoan952002


#2 takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-11-2016 - 19:55

Đặt $3^m=a$. Ta có hàm số $f\left ( x \right )=x^2-x$ là hàm đồng biến trên $\left [1;+\infty \right )$

Đặt $g\left ( x \right )=x^4+2x^3+x^2+2x$. Ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x+1 \right )=-x\left ( x-1 \right )\leq 0\Rightarrow g\left ( x \right )\leq f\left ( x^2+x+1 \right )\forall x\geq 1$$\Rightarrow f\left ( a \right )\leq f\left ( n^2+n+1 \right )\Rightarrow a\leq n^2+n+1$. Mặt khác, ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x \right )=n\left ( n+3 \right )>0\Rightarrow g\left ( x \right )> f\left ( x^2+x \right )\Rightarrow f\left ( a \right )> f\left ( n^2+n \right )\Rightarrow a>n^2+n$.

Vậy $a=n^2+n+1$. Thay lại vào phương trình ban đầu ta được $\left ( n,m \right )=\left ( 1;1 \right )$



#3 thinhtrantoan

thinhtrantoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đào Xá, Thanh Thủy, Phú Thọ
  • Sở thích:Toán, văn, hóa

Đã gửi 01-11-2016 - 20:33

Đặt $3^m=a$. Ta có hàm số $f\left ( x \right )=x^2-x$ là hàm đồng biến trên $\left [1;+\infty \right )$

Đặt $g\left ( x \right )=x^4+2x^3+x^2+2x$. Ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x+1 \right )=-x\left ( x-1 \right )\leq 0\Rightarrow g\left ( x \right )\leq f\left ( x^2+x+1 \right )\forall x\geq 1$$\Rightarrow f\left ( a \right )\leq f\left ( n^2+n+1 \right )\Rightarrow a\leq n^2+n+1$. Mặt khác, ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x \right )=n\left ( n+3 \right )>0\Rightarrow g\left ( x \right )> f\left ( x^2+x \right )\Rightarrow f\left ( a \right )> f\left ( n^2+n \right )\Rightarrow a>n^2+n$.

Vậy $a=n^2+n+1$. Thay lại vào phương trình ban đầu ta được $\left ( n,m \right )=\left ( 1;1 \right )$

Mình ms học lớp 9 nên cảm thấy cách giải của bạn hơi khó hiểu, bạn có thể làm cách nào dễ hiểu hơn không?


"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"

https://www.facebook...htrantoan952002


#4 takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-11-2016 - 21:02

Mình ms học lớp 9 nên cảm thấy cách giải của bạn hơi khó hiểu, bạn có thể làm cách nào dễ hiểu hơn không?

Ở đây bạn chỉ cần xét $a>n^2+n+1$, $a<n^2+n+1$ rồi chỉ ra hai trường hợp này không có $n$ thỏa mãn, do đó $a=n^2+n+1$ thôi



#5 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 02-11-2016 - 14:26

Đặt $3^m=x$

Pt trở thành $x^2-x=n^4+2n^3+n^2+2n$

Nhân 4 và nhóm hằng đẳng thức VT 

$(2x-1)^2=4n^4+8n^3+4n^2+8n+1$
Tới đây có thể chặn bình phương VP cũng ra $x=n^2+n+1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh