Chủ đề này có 4 trả lời

[thinhtrantoan]

Tìm tất cả các số nguyên dương m,n thỏa mãn $9^{m}-3^{m}=n^{4}+2n^{3}+n^{2}+2n$

[takarin1512]

Đặt $3^m=a$. Ta có hàm số $f\left ( x \right )=x^2-x$ là hàm đồng biến trên $\left [1;+\infty \right )$

Đặt $g\left ( x \right )=x^4+2x^3+x^2+2x$. Ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x+1 \right )=-x\left ( x-1 \right )\leq 0\Rightarrow g\left ( x \right )\leq f\left ( x^2+x+1 \right )\forall x\geq 1$$\Rightarrow f\left ( a \right )\leq f\left ( n^2+n+1 \right )\Rightarrow a\leq n^2+n+1$. Mặt khác, ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x \right )=n\left ( n+3 \right )>0\Rightarrow g\left ( x \right )> f\left ( x^2+x \right )\Rightarrow f\left ( a \right )> f\left ( n^2+n \right )\Rightarrow a>n^2+n$.

Vậy $a=n^2+n+1$. Thay lại vào phương trình ban đầu ta được $\left ( n,m \right )=\left ( 1;1 \right )$

[thinhtrantoan]

Đặt $3^m=a$. Ta có hàm số $f\left ( x \right )=x^2-x$ là hàm đồng biến trên $\left [1;+\infty \right )$

Đặt $g\left ( x \right )=x^4+2x^3+x^2+2x$. Ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x+1 \right )=-x\left ( x-1 \right )\leq 0\Rightarrow g\left ( x \right )\leq f\left ( x^2+x+1 \right )\forall x\geq 1$$\Rightarrow f\left ( a \right )\leq f\left ( n^2+n+1 \right )\Rightarrow a\leq n^2+n+1$. Mặt khác, ta có $g\left ( x \right )-f\left ( x^2+x \right )=n\left ( n+3 \right )>0\Rightarrow g\left ( x \right )> f\left ( x^2+x \right )\Rightarrow f\left ( a \right )> f\left ( n^2+n \right )\Rightarrow a>n^2+n$.

Vậy $a=n^2+n+1$. Thay lại vào phương trình ban đầu ta được $\left ( n,m \right )=\left ( 1;1 \right )$

Mình ms học lớp 9 nên cảm thấy cách giải của bạn hơi khó hiểu, bạn có thể làm cách nào dễ hiểu hơn không?

[takarin1512]

Mình ms học lớp 9 nên cảm thấy cách giải của bạn hơi khó hiểu, bạn có thể làm cách nào dễ hiểu hơn không?

Ở đây bạn chỉ cần xét $a>n^2+n+1$, $a<n^2+n+1$ rồi chỉ ra hai trường hợp này không có $n$ thỏa mãn, do đó $a=n^2+n+1$ thôi

[Kamii0909]

Đặt $3^m=x$

Pt trở thành $x^2-x=n^4+2n^3+n^2+2n$

Nhân 4 và nhóm hằng đẳng thức VT 

$(2x-1)^2=4n^4+8n^3+4n^2+8n+1$
Tới đây có thể chặn bình phương VP cũng ra $x=n^2+n+1$