Chủ đề này có 4 trả lời

[phanthanhtruyen]

cho a,b,c>0 , a+b+c=3. c/m : $\sum \frac{8}{a^{2}+b^{2}+2}\leq 6$

[NTA1907]

cho a,b,c>0 , a+b+c=3. c/m : $\sum \frac{8}{a^{2}+b^{2}+2}\leq 6$

Bất đẳng thức đã cho tương đương:

$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2} \right )\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}}{2(\sum a^{2})+6}=\frac{2(\sum a^{2})+2\sum \sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}}{2(\sum a^{2})+6}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum (b^{2}+ca)}{\sum a^{2}+3}=\frac{2\sum a^{2}+\sum ab}{\sum a^{2}+3}=\frac{2\sum a^{2}+\frac{1}{2}\left ( (a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \right )}{\sum a^{2}+3}=\frac{\frac{3}{2}(\sum a^{2})+\frac{9}{2}}{\sum a^{2}+3}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

[phanthanhtruyen]

 

Bất đẳng thức đã cho tương đương:

$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2} \right )\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}}{2(\sum a^{2})+6}=\frac{2(\sum a^{2})+2\sum \sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}}{2(\sum a^{2})+6}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum (b^{2}+ca)}{\sum a^{2}+3}=\frac{2\sum a^{2}+\sum ab}{\sum a^{2}+3}=\frac{2\sum a^{2}+\frac{1}{2}\left ( (a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \right )}{\sum a^{2}+3}=\frac{\frac{3}{2}(\sum a^{2})+\frac{9}{2}}{\sum a^{2}+3}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

hay vậy mà làm bị ngược dấu mãi   thanks !!

[hanguyen445]

cho a,b,c>0 , a+b+c=3. c/m : $\sum \frac{8}{a^{2}+b^{2}+2}\leq 6$

Một biến đổi khác cauchy-schawrz:

Ta có:

\[4 - \frac{8}{{{a^2} + {b^2} + 2}} = \frac{{4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^2} + {b^2} + 2}}\]

Khi đó BĐT tương đương:

\[\sum {\frac{{4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^2} + {b^2} + 2}} \geqslant 6 \Leftrightarrow \sum {\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + 2}}} }  \geqslant 3\]

 

Theo cauchy-schawrz:

\[VT \geqslant \frac{{4{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3} \right)}} \geqslant 3\]

\[ \Leftrightarrow 2{\left( {a - b} \right)^2} + 2{\left( {a + b + c} \right)^2} \geqslant 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 9 = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow 2{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a + b + c} \right)^2} \geqslant 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \Leftrightarrow  - 2ab + 2c\left( {a + b} \right) \geqslant 2{c^2}\]

\[ \Leftrightarrow {c^2} - c\left( {a + b} \right) + ab \leqslant 0 \Leftrightarrow \left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) \leqslant 0\left( @ \right)\]

Do BĐT đối xứng $a,b,c$ nên giả sử $a\ge c\ge b$ nên (@) luôn đúng. Vậy BĐT được chứng minh

[Nguyenphuctang]

Các bạn có thể tham khảo thêm bài này và cách giải