Cho $a,b,c >0$. CM
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$
CM $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$
Bắt đầu bởi tienduc, 03-11-2016 - 16:54
#2
Đã gửi 04-11-2016 - 12:57
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Cho $a,b,c >0$. CM
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{ab^{2}-abc+ac^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum ab^{2}+\sum a^{2}b-3abc}$
Ta chứng minh:
$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum ab^{2}+\sum a^{2}b-3abc}\geq a+b+c$
$\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)$(luôn đúng theo Schur)
Mà $a+b+c\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}\Rightarrow$ đpcm
- tienduc yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
