Chủ đề này có 5 trả lời

[tienduc]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CM

$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+c+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$

[yagami wolf]

$(a;b;c)\rightarrow (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$

Dung schwarz 

[Nguyenphuctang]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CM

$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+c+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$

$Ta \ có: \\ (a+b+c)\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \sum (\frac{a}{ab+a+1})^{2}=1$

[tienduc]

 

$Ta \ có: \\ (a+b+c)\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \sum (\frac{a}{ab+a+1})^{2}=1$

 

Bạn có thể giải hẳn ra được không? Mình đọc không hiểu lắm

[Mr Cooper]

Ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{a}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {bc + c + 1} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{a{c^2}}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{a^2}b{c^2}}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} = \frac{{a{c^2} + {a^2}b{c^2} + c}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} = \frac{{a{c^2} + ac + c}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}}
\end{array}\]
Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có:
\[\left( {a{c^2} + ac + c} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {ca + c + 1} \right)^2}\]
\[ \Rightarrow \frac{{a{c^2} + ac + c}}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{a + b + c}}\]
\[ \Rightarrow \frac{a}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {bc + c + 1} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{a + b + c}}\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi: a=b=c=1

[datdo]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

$(a+b+c)(\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+c+1)^{2}})\geq \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}$

 

                                                                                                         = $\frac{a}{a(b+1+bc)}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{b(ca+c+1)}$

                                                                                                         = $\frac{1}{b+1+b}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}$

                                                                                                         = 1

 

                                                                                                         => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datdo: 06-11-2016 - 17:48