Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Dãy $2^n+3^n-i$ gồm toàn hợp số

vô hạn số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 04-11-2016 - 17:01

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$, tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho dãy $2^n+3^n-1,2^n+3^n-2,\ldots ,2^n+3^n-k$ gồm toàn các hợp số.

China MO


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 04-11-2016 - 17:06


#2 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 09-11-2016 - 20:44

Chọn $N$ đủ lớn sao cho $2^N+3^N-k>3$.

Nếu $2^N+3^N-i$ không có ước nguyên tố khác $2,3$ thì với mọi $n\geq N$, cùng tính chẵn lẻ với $N$, $2^n+3^n-k$ là hợp số.

Ta lấy ước nguyên tố khác $2,3$ của $m$ số $2^N+3^N-i_j$ còn lại là $p_1,p_2,...,p_m$.

Lấy $n=N+2q\prod_{j=1}^{m}(p_i-1)$.

Giờ thì với các số $i_j$, ta có theo Fermat: $2^n+3^n-i_j\equiv 2^N+3^N-i_j\equiv 0(mod p_j),2^n+3^n-i_j>2^N+3^N-i_j\geq p_j$ nên là hợp số. Các TH còn lại cũng là hợp số.

(Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 09-11-2016 - 20:51






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh