Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ dso cho $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương.

- - - - - shoc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-11-2016 - 17:20


#2
trongnam

trongnam

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết

n la so tu nhien co may chu so vay



#3
Nguyen Trung Anh

Nguyen Trung Anh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Do 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 : 8 dư 1

=> 2n chia hết cho 8

=> n chia hết cho 4

=> n chẵn

=> 3n chẵn

=> 3n+1 lẻ

=> 3n+1 chia 8 dư 1

=> 3n chia hết cho 8

=> n chia hết cho 8    (1)

Có: 3n+1 là số chính phương => 3n+1 chia 5 dư 0;1;4

=> 3n chia 5 dư 4;3 hoặc chia hết cho 5

=> n chia 5 dư 3;1 hoặc chia hết cho 5

- Xét n : 5 dư 3 => 2n+1 chia 5 dư 2 (Loại)

- Xét n : 5 dư 1 => 2n+1 chia 5 dư 3 (Loại)

- Xét n chia hết cho 5 => 2n+1 chia 5 dư 1 (Thỏa mãn)

=> n chia hết cho 5   (2)

Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 40

Ta tìm được n=40 để 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương



#4
IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
Ngoài 40 ra còn có những số $n$ nào khác thỏa mãn đề bài?

#5
IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Đang học về phương trình $\text{Pell}$, tình cờ gặp được bài này trong cuốn $\text{Số học}$ của thầy $\text{Phan Huy Khải}$. Thôi thì xin được đưa lời giải lên đây vậy.

Ta có $\text{gcd} (2n+1,3n+1)=1$, nên cả $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương khi và chỉ khi

$(2n+1)(3n+1)=m^2$ $(m\in\mathbb{Z})$.

Từ đó ta có:

$6n^2+5n+1=m^2\Rightarrow 144n^2+120n+24=24m^2\Rightarrow (12n^2+5)^2-24y^2=1$.   $(1)$

Đặt $p=12n+5$, từ $(1)$ ta thu được phương trình $\text{Pell}$ loại $\text{I}$:

$p^2-24m^2=1$.   $(2)$

Dễ thấy tất cả các nghiệm của $(2)$ được sinh ra từ dãy:

$p_0=1,p_1=5,p_{k+2}=10p_{k+1}-p_k$ $(k=1,2,\ldots)$

$m_0=0,m_1=1,m_{k+2}=10m_{k+1}-m_k$ $(k=1,2, \ldots)$

Từ đó ta thấy:

$p_k\equiv 5 \pmod{12}\Leftrightarrow k$ lẻ.

Ta có:

$n_k=\frac{p_{2k+1}-5}{12}$.

Theo trên thì:     $p_{2k+3}=10p_{2k+2}-p_{2k+1}$

                                     $=10(10p_{2k+1}-p_{2k})-p_{2k+1}$

                                     $=99p_{2k+1}-10p_{2k}$

                                     $=98p_{2k+1}+(10p_{2k}-p_{2k-1})-10p_{2k}$

                                     $=98p_{2k+1}-p_{2k-1}$.

Từ đó dẫn tới:
$12n_{k+1}+5=98(12n_k+5)-(12n_{k-1}+5)\Rightarrow n_{k+1}=98n_k-n_{k-1}+40$.

Ta có $n_0=0$, $n_1=40$.

Vậy tất cả các số tự nhiên $n$ cần tìm được xác định bởi dãy:

$(n_k)$: $n_0=0,n_40=1,n_{k+1}=98n_k-n_{k-1}+40$.   $\square$

P/s: Vậy $40$ chỉ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài, hơn nữa $40|n$ chỉ là điều kiện cần.

 

 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: shoc

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh