Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-11-2016 - 17:20
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-11-2016 - 17:20
Do 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 : 8 dư 1
=> 2n chia hết cho 8
=> n chia hết cho 4
=> n chẵn
=> 3n chẵn
=> 3n+1 lẻ
=> 3n+1 chia 8 dư 1
=> 3n chia hết cho 8
=> n chia hết cho 8 (1)
Có: 3n+1 là số chính phương => 3n+1 chia 5 dư 0;1;4
=> 3n chia 5 dư 4;3 hoặc chia hết cho 5
=> n chia 5 dư 3;1 hoặc chia hết cho 5
- Xét n : 5 dư 3 => 2n+1 chia 5 dư 2 (Loại)
- Xét n : 5 dư 1 => 2n+1 chia 5 dư 3 (Loại)
- Xét n chia hết cho 5 => 2n+1 chia 5 dư 1 (Thỏa mãn)
=> n chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 40
Ta tìm được n=40 để 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương
Đang học về phương trình $\text{Pell}$, tình cờ gặp được bài này trong cuốn $\text{Số học}$ của thầy $\text{Phan Huy Khải}$. Thôi thì xin được đưa lời giải lên đây vậy.
Ta có $\text{gcd} (2n+1,3n+1)=1$, nên cả $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương khi và chỉ khi
$(2n+1)(3n+1)=m^2$ $(m\in\mathbb{Z})$.
Từ đó ta có:
$6n^2+5n+1=m^2\Rightarrow 144n^2+120n+24=24m^2\Rightarrow (12n^2+5)^2-24y^2=1$. $(1)$
Đặt $p=12n+5$, từ $(1)$ ta thu được phương trình $\text{Pell}$ loại $\text{I}$:
$p^2-24m^2=1$. $(2)$
Dễ thấy tất cả các nghiệm của $(2)$ được sinh ra từ dãy:
$p_0=1,p_1=5,p_{k+2}=10p_{k+1}-p_k$ $(k=1,2,\ldots)$
$m_0=0,m_1=1,m_{k+2}=10m_{k+1}-m_k$ $(k=1,2, \ldots)$
Từ đó ta thấy:
$p_k\equiv 5 \pmod{12}\Leftrightarrow k$ lẻ.
Ta có:
$n_k=\frac{p_{2k+1}-5}{12}$.
Theo trên thì: $p_{2k+3}=10p_{2k+2}-p_{2k+1}$
$=10(10p_{2k+1}-p_{2k})-p_{2k+1}$
$=99p_{2k+1}-10p_{2k}$
$=98p_{2k+1}+(10p_{2k}-p_{2k-1})-10p_{2k}$
$=98p_{2k+1}-p_{2k-1}$.
Từ đó dẫn tới:
$12n_{k+1}+5=98(12n_k+5)-(12n_{k-1}+5)\Rightarrow n_{k+1}=98n_k-n_{k-1}+40$.
Ta có $n_0=0$, $n_1=40$.
Vậy tất cả các số tự nhiên $n$ cần tìm được xác định bởi dãy:
$(n_k)$: $n_0=0,n_40=1,n_{k+1}=98n_k-n_{k-1}+40$. $\square$
P/s: Vậy $40$ chỉ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài, hơn nữa $40|n$ chỉ là điều kiện cần.
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm 9 chữ số tận cùng.Bắt đầu bởi tritanngo99, 29-03-2017 shoc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm chữ số thứ $2^{2017}$ của $S$Bắt đầu bởi tritanngo99, 10-12-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(n)$.Bắt đầu bởi tritanngo99, 06-11-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+b}{c+d}+\frac{a+d}{b+c}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 16-10-2016 shoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn: $2^{a}=3^{b}-5^{c}+7^{d}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 03-06-2016 shoc |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh