3 replies to this topic

[Nguyen Trung Anh]

Hình chữ nhật ABCD có AB= 4, AD= 3. Mϵ AB, Nϵ BC, Pϵ CD, Qϵ DA.

Chứng minh:

          25≤ MN² + NP² + PQ² + QM² ≤ 50

                                   Giải:

- Trường hợp 1: M trùng A, N trùng B, P trùng C, Q trùng D (hình tự vẽ)

=> MN² + NP² + PQ² + QM² = 50 (1)

- Trường hợp 2: M là trung điểm AB, N là trung điểm BC, P là trung điểm CD, Q là trung điểm AD (hình tự vẽ)

=> Tìm được MN² + NP² + PQ² + QM² = 25 (2)

- Trường hợp 3: M là trung điểm AB, N trùng B, P là trung điểm CD, Q trùng D

=> Tìm được MN² + NP² + PQ² + QM² = 34 => 25<34<50 (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra 25≤ MN² + NP² + PQ² + QM² ≤ 50

 

 

 

[Kamii0909]

Sai rồi bạn. Đâu có cơ sở gì cho bạn xét các TH đặc biệt đâu. M,N,P,Q chạy thoải mái mà.
Mình nghĩ là làm thế này.
Theo định lý Pytago
$MN^2+NP^2+PQ^2+QM^2=(AM^2+MB^2)+(BN^2+NC^2)+(CP^2+PD^2)+(QD^2+QA^2)$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
$AM^2+MB^2 \geq \frac{1}{2} (AM+MB)^2 = \frac{1}{2} AB^2$
Cộng các bđt tương tự có min =25.
Ta có $AM^2+BM^2 \leq (AM+MB)^2=AB^2$
Cộng lại max =50
Min xảy ra khi M,N,P,Q là các trung điểm
Max xảy ra khi M,N,P,Q trùng A,B,C,D

Edited by Kamii0909, 05-11-2016 - 15:52.

[Nguyen Trung Anh]

T

 

Sai rồi bạn. Đâu có cơ sở gì cho bạn xét các TH đặc biệt đâu. M,N,P,Q chạy thoải mái mà.
Mình nghĩ là làm thế này.
Theo định lý Pytago
$MN^2+NP^2+PQ^2+QM^2=(AM^2+MB^2)+(BN^2+NC^2)+(CP^2+PD^2)+(QD^2+QA^2)$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
$AM^2+MB^2 \geq \frac{1}{2} (AM+MB)^2 = \frac{1}{2} AB^2$
Cộng các bđt tương tự có min =25.
Ta có $AM^2+BM^2 \leq (AM+MB)^2=AB^2$
Cộng lại max =50
Min xảy ra khi M,N,P,Q là các trung điểm
Max xảy ra khi M,N,P,Q trùng A,B,C,D

Thanks

[Nguyen Trung Anh]

THANKS NHIEU LAM