Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

25≤ MN2 + NP2 + PQ2 + QM2 ≤ 50


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Nguyen Trung Anh

Nguyen Trung Anh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 04-11-2016 - 21:04

Hình chữ nhật ABCD có AB= 4, AD= 3. Mϵ AB, Nϵ BC, Pϵ CD, Qϵ DA.

Chứng minh:

          25 MN+ NP+ PQ+ QM 50

                                   Giải:

- Trường hợp 1: M trùng A, N trùng B, P trùng C, Q trùng D (hình tự vẽ)

=> MN+ NP+ PQ+ QM= 50 (1)

- Trường hợp 2: M là trung điểm AB, N là trung điểm BC, P là trung điểm CD, Q là trung điểm AD (hình tự vẽ)

=> Tìm được MN+ NP+ PQ+ QM= 25 (2)

- Trường hợp 3: M là trung điểm AB, N trùng B, P là trung điểm CD, Q trùng D

=> Tìm được MN+ NP+ PQ+ QM= 34 => 25<34<50 (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra 25 MN+ NP+ PQ+ QM 50

 

 

 



#2 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 05-11-2016 - 15:51

Sai rồi bạn. Đâu có cơ sở gì cho bạn xét các TH đặc biệt đâu. M,N,P,Q chạy thoải mái mà.
Mình nghĩ là làm thế này.
Theo định lý Pytago
$MN^2+NP^2+PQ^2+QM^2=(AM^2+MB^2)+(BN^2+NC^2)+(CP^2+PD^2)+(QD^2+QA^2)$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
$AM^2+MB^2 \geq \frac{1}{2} (AM+MB)^2 = \frac{1}{2} AB^2$
Cộng các bđt tương tự có min =25.
Ta có $AM^2+BM^2 \leq (AM+MB)^2=AB^2$
Cộng lại max =50
Min xảy ra khi M,N,P,Q là các trung điểm
Max xảy ra khi M,N,P,Q trùng A,B,C,D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 05-11-2016 - 15:52


#3 Nguyen Trung Anh

Nguyen Trung Anh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 07-11-2016 - 11:52

T

 

Sai rồi bạn. Đâu có cơ sở gì cho bạn xét các TH đặc biệt đâu. M,N,P,Q chạy thoải mái mà.
Mình nghĩ là làm thế này.
Theo định lý Pytago
$MN^2+NP^2+PQ^2+QM^2=(AM^2+MB^2)+(BN^2+NC^2)+(CP^2+PD^2)+(QD^2+QA^2)$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
$AM^2+MB^2 \geq \frac{1}{2} (AM+MB)^2 = \frac{1}{2} AB^2$
Cộng các bđt tương tự có min =25.
Ta có $AM^2+BM^2 \leq (AM+MB)^2=AB^2$
Cộng lại max =50
Min xảy ra khi M,N,P,Q là các trung điểm
Max xảy ra khi M,N,P,Q trùng A,B,C,D

Thanks



#4 Nguyen Trung Anh

Nguyen Trung Anh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 07-11-2016 - 12:13

THANKS NHIEU LAM






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh