Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Phương trình nghiệm nguyên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 04-11-2016 - 21:59

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho $P=\frac{x^3+y^3-x^2y^2}{(x+y)^2}$  là só nguyên không âm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 09-11-2016 - 20:58


#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 09-11-2016 - 21:09

+) $x=y \Rightarrow  x=y=2$ 
+) $x \ne y$ đặt $d=(x,y) \Rightarrow x=dx_1,y=dy_1,(x_1,y_1)=1$ 
$(x+y)^2|(x^3+y^3-x^2y^2) \Leftrightarrow (x+y)^2|xy(3x+3y+xy) \Leftrightarrow (x_1+y_1)^2|dx_1y_1(3x_1+3y_1+dx_1y_1)$  
Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kì của $d$. 
Nếu $v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)>0$ vô lí vì $(x_1,y_1+x_1)=(y_1,x_1+y_1)=1$ 
$\Rightarrow v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)<0 \Rightarrow (x_1+y_1)|d$
Chú ý $x^3+y^3-(xy)^2=d^3(x_1^3+y_1^3-dx_1^2y_1^2)$ 
Mà $x_1^3+y_1^3=(x_1+y_1)(x_1^2+y_1^2-x_1y_1)<dx_1^2y_1^2 \Rightarrow x^3+y^3-(xy)^2$ (vô lí)  
Vậy $x=y=2$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 09-11-2016 - 21:11


#3 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 09-11-2016 - 22:53

Cảm ơn bạn 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 09-11-2016 - 23:03


#4 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 09-11-2016 - 23:25

+) $x=y \Rightarrow  x=y=2$ 
+) $x \ne y$ đặt $d=(x,y) \Rightarrow x=dx_1,y=dy_1,(x_1,y_1)=1$ 
$(x+y)^2|(x^3+y^3-x^2y^2) \Leftrightarrow (x+y)^2|xy(3x+3y+xy) \Leftrightarrow (x_1+y_1)^2|dx_1y_1(3x_1+3y_1+dx_1y_1)$  
Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kì của $d$. 
Nếu $v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)>0$ vô lí vì $(x_1,y_1+x_1)=(y_1,x_1+y_1)=1$ 
$\Rightarrow v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)<0 \Rightarrow (x_1+y_1)|d$
Chú ý $x^3+y^3-(xy)^2=d^3(x_1^3+y_1^3-dx_1^2y_1^2)$ 
Mà $x_1^3+y_1^3=(x_1+y_1)(x_1^2+y_1^2-x_1y_1)<dx_1^2y_1^2 \Rightarrow x^3+y^3-(xy)^2$ (vô lí)  
Vậy $x=y=2$ 

Nếu $v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)>0$ vô lí vì $(x_1,y_1+x_1)=(y_1,x_1+y_1)=1$  Bạn có thể chi tiết chỗ này giùm mình với được không 



#5 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 12-11-2016 - 23:51

Mình lý luận không được chắc chắn lắm có gì sai sót mong bạn chỉ giúp.

đặt $a=x+y,b=xy$

thì $a^2|a^3-3ab-b^2$ hay $a^2|3ab+b^2$

Từ đó $ka^2-3ab-b^2=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ thì 

$\Delta =b^2(4k+9)$ nên $4k+9$ phải là số chính phương lẻ.

Từ đó tính được $k=m^2+m-2$

thay vào công thức nghiệm được $a= \frac{b}{m-1}$ hoặc $a= \frac{b}{m+2}$

Cả 2 đều chứng tỏ $a|b$ hay $x+y|xy$ nghĩa là $xy=p(x+y)$

Từ đề bài thì tử số phải không âm hay

$x+y \geq 3p+p^2$

Nếu $x=y$ thì $p= \frac{x}{2}$ thay vào có $x \leq 2$

$x=y=1$ KTM, $x=y=2$ TM.

TH còn lại xử lí như trên.



#6 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 13-11-2016 - 08:19

Mình lý luận không được chắc chắn lắm có gì sai sót mong bạn chỉ giúp.

đặt $a=x+y,b=xy$

thì $a^2|a^3-3ab-b^2$ hay $a^2|3ab+b^2$

Từ đó $ka^2-3ab-b^2=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ thì 

$\Delta =b^2(4k+9)$ nên $4k+9$ phải là số chính phương lẻ.

Từ đó tính được $k=m^2+m-2$

thay vào công thức nghiệm được $a= \frac{b}{m-1}$ hoặc $a= \frac{b}{m+2}$

Cả 2 đều chứng tỏ $a|b$ hay $x+y|xy$ nghĩa là $xy=p(x+y)$

Từ đề bài thì tử số phải không âm hay

$x+y \geq 3p+p^2$

Nếu $x=y$ thì $p= \frac{x}{2}$ thay vào có $x \leq 2$

$x=y=1$ KTM, $x=y=2$ TM.

TH còn lại xử lí như trên.

Quá hay cảm ơn bạn thế mà mình cứ bước nhảy Vi-et cả buổi 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh