Tìm tất cả bộ các số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng 10 lần tổng của chúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 10-11-2016 - 09:59
Tìm tất cả bộ các số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng 10 lần tổng của chúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 10-11-2016 - 09:59
Đào Thị Thanh Dung
tổ hợp ?
Tìm tất cả bộ các số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng 10 lần tổng của chúng.
Vì tích của các số ntố cần tìm chia hết cho $10$ nên phải có $2$ số ntố $2$ và $5$
Gọi các số ntố còn lại là $p_{1}\leq p_{2}\leq ... \leq p_{n}$ . Từ gt $\Rightarrow p_{1}p_{2}...p_{n}=7+p_{1}+p_{2}+...+p_{n}$ ($1$)
Dễ thấy $n\geq 2$
- Với $n=2$ , từ ($1$) $\Rightarrow p_{1}p_{2}=7+p_{1}+p_{2}\Leftrightarrow (p_{1}-1)(p_{2}-1)=8\Rightarrow p_{1}=3,p_{2}=5$
- Với $n\geq 3$ , xét $2$ TH:
+ TH$1$: Nếu $p_{n}=2$ thì ($1$) trở thành: $2^n=7+2n$ (vô lý)
+ TH$2$: Nếu $p_{n}\geq 3$ , đặt $p_{1}+p_{2}+...+p_{n-1}=s\geq 4$ (vì $n\geq 3$)
Dễ c/m: $p_{1}p_{2}...p_{n-1}\geq p_{1}+p_{2}+...+p_{n-1}=s$ . Kết hợp với ($1$) ta đc: $sp_{n}\leq 7+s+p_{n}\Leftrightarrow (p_{n}-1)(s-1)\leq 8$
Vì $p_{n}\geq 3,s\geq 4$ thì bđt xảy ra $\Leftrightarrow p_{n}=3,s\leq 5\Rightarrow p_{1}=p_{2}=2$ hoặc $p_{1}=2,p_{2}=3$ (ko thỏa)
Vậy bộ số ntố duy nhất tm đề bài là $(2;5;3;5)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 09-11-2016 - 15:13
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh