Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}}\geqslant \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 08-11-2016 - 20:38

Cho $0<a_1\leqslant a_2\leqslant ...\leqslant a_n$ thỏa mãn $a_na_{\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor}\leqslant 1$

 

Chứng minh rằng:  $\frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}}\geqslant \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i}$     (Trích đề thi đề nghị 30/4/2015)



#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 29-11-2016 - 18:00

Ta có với $x,y >0 ,xy \ge 1$ thì $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \ge \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$  
+) $n$ chẵn thì ta có $1 \ge a_n.a_{n/2} \ge a_{n-1}.a_{n/2} \ge ... \ge a_{1+n/2}.a_1$  
$\frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{1+a_{1+n/2}} \le \frac{2}{1+\sqrt{a_1.a_{1+n/2}}}$ 
Tương tự $\Rightarrow \frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}} \ge 2.\sum_{i=1}^n \frac{n/2}{1+\sqrt{a_i.a_{i+n/2}}} \ge \sum_{i=1}^{n/2} \frac{1}{a_i+1}$ 
+) $n$ lẻ thì $1 \ge a_n.a_{(1+n)/2} \ge a_{n-1}.a_{(n-1)/2} \ge ... \ge a_{(3+n)/2}.a_1$  
làm tương tự như $n$ chẵn 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh