Chủ đề này có 1 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Cho $0<a_1\leqslant a_2\leqslant ...\leqslant a_n$ thỏa mãn $a_na_{\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor}\leqslant 1$

 

Chứng minh rằng:  $\frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}}\geqslant \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i}$     (Trích đề thi đề nghị 30/4/2015)

[I Love MC]

Ta có với $x,y >0 ,xy \ge 1$ thì $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \ge \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$  
+) $n$ chẵn thì ta có $1 \ge a_n.a_{n/2} \ge a_{n-1}.a_{n/2} \ge ... \ge a_{1+n/2}.a_1$  
$\frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{1+a_{1+n/2}} \le \frac{2}{1+\sqrt{a_1.a_{1+n/2}}}$ 
Tương tự $\Rightarrow \frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}} \ge 2.\sum_{i=1}^n \frac{n/2}{1+\sqrt{a_i.a_{i+n/2}}} \ge \sum_{i=1}^{n/2} \frac{1}{a_i+1}$ 
+) $n$ lẻ thì $1 \ge a_n.a_{(1+n)/2} \ge a_{n-1}.a_{(n-1)/2} \ge ... \ge a_{(3+n)/2}.a_1$  
làm tương tự như $n$ chẵn