Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Bàn về cái vô hạn trong toán học

infinite math

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1527 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 09-11-2016 - 21:59

  $$2^{N}=R$$

 

Nói đến vô hạn , trong chúng ta , những người học toán hẳn sẽ nghĩ ngay đến Cantor . Cái con người mà David Hilbert đã phải nói rằng : " Không ai đuổi được chúng ta ra khỏi cái thiên đường mà Cantor đã tạo nên " .

Bây giờ để hiểu được phương trình ở đầu bài ta sẽ bắt đầu từ đầu để xem cái con người lỗi lạc kia đã sử dụng vô hạn như thế nào .

CANTOR , người thuần hóa cái vô hạn . 

- Sinh ra trong một ra đình Do Thái trung lưu ( bố làm nghề buồn ) nhập cư vào Đức từ Naa , chàng thanh niên Georg Cantor được học các trường trung học tư ở Frankfurt và đã thể hiện niềm đam mê và tài năng thần đồng đối với toán học . Với sự động viên của người cha , ông đã đăng kí vào học trường bách khoa Zurich , rồi chuyển tới Đại học Berlin , một trong những trung tâm nghiên cứu toán học của thế giới vào thời kì đó , thế kỉ $19$ . Tại đây ông đã gặp một trong những nhà toán học lớn nhất bấy giờ Karl Weierstrass ( $1815-1897$ ) , người được coi là cha đẻ toán học giải tích hiện đại . Ông được thụ giáo Leopold Kronecker ( $1823 - 1891$ ) , người đã đóng vai trò tai hại trong cuộc sống và sự nghiệp của Cantor . Sau khi lấy bằng tiến sĩ ở Berlin vào năm $1867$ , nhà toán học trẻ tuổi đã nhận một vị trí giảng dạy tại đại học Halle . Nằm giữa Gottingen và Berlin , đại học Halle không có sự nổi tiếng cũng như tiếng vang hàn lâm như các thành phố lân cận . Cantor coi vị trí này như một bến đỗ tạm thời , nơi nghỉ ngơi để suy tư về các vấn đề vô hạn và xác lập danh tiếng của một nhà toán học , với hy vọng sẽ được mời làm giáo sư ở một trường đại học danh tiếng hơn sau này . Nhưng lời mời không bao giờ tới và với sự thất vọng to lớn , vị trí tạm thời trở thành thường trực. Toàn bộ sự nghiệp toán học của ông gắn liền ở đây , khoa toán đại học Halle . Thế nhưng bóng tối đó đã khai sáng cho Cantor về cái vô hạn .

- Giống như Bolzano , bậc tiền bối của ông , Cantor đã có ý định mãnh liệt nhằm tống cái vô hạn tiềm tàng hiện thực thành một thực thể hoàn toàn riêng rẽ trong khung cảnh toán học . Tất cả công trình của Cantor về vô hạn , suy cho cùng chỉ dựa trên hai khái niệm đơn giản tới không ngờ . Một tập hợp chỉ là một sưu tập các đối tượng giống như bộ sưu tập tranh tem hay các số nguyên . Nếu như hai bộ sưu tập đầu tiên là hữu hạn thì bộ thứ ba là vô hạn . Khái niệm thứ $2$ là khái niệm tương ứng $1-1$ . Nếu xét hai tập hữu hạn , ta có thể chắc chắn một cách tuyệt đối rằng hai tập là bằng nhau , tức là có thể gắn một cách duy nhất mỗi phần tử của tập này với tập kia . (ở đây là khái niệm lực lượng ) . Ví dụ có $4$ nam với $4$ nữ ta có thể ghép mỗi bạn nam với duy nhất một bạn nữ .

- Vấn đề này sẽ rắc rối hơn với cái vô hạn . Ta hãy xét hai tập vô hạn do Galile đưa ra , trong cuộc tranh luận giữa Salviati và Simplicio về những bí ấn của vô hạn , trong tác phẩn Deux nouvlles sciences : tập các số nguyên và tập các số chính phương là bằng nhau . Tức là tập các số $1,4,9,25,...$ lại có số phần tử bằng $1,2,3,4,.....$ , Theo quy tắc $1-1$ thì nó có thể viết thành hai dãy $1^{2},2^{2},3^{2},....$ và $1,2,3,...$ tức là chỉ thêm số mũ $2$ ở trên , nên chúng là bằng nhau .  Nhưng điều này có vẻ hơi trái với điều là tập các số tự nhiên chứa tập các số chính phương , suy ra cái bộ phận không thể lớn hơn cái tổng thể . Nhưng Cantor vẫn sử dụng lý lẽ $1-1$ để định nghĩa kích cỡ của một tập hợp . Đây gọi là bản số của tập hợp , ông táo bạo nói rằng nếu hai tập hợp dù vô hạn hay hữu hạn , có thể xác lập một tương ứng $1-1$ thì chúng phải có cùng số lượng các phẩn tử . Theo quy tắc này số các số lẻ bằng số các số chẵn , bằng số các số chính phương và bằng các số nguyên . Nhưng những tiên nghiệm của chúng ta chỉ đúng trong cái hữu hạn , khi vươn tới vô hạn nó không còn đúng nữa , phải thiết lập một thứ toán học chặt chẽ để có thể mô tả cái vô hạn này . Ví dụ với các chuỗi vô hạn các quy tắc số học không còn áp dụng được nữa . Ta hãy mô tả một số công thức kì quái của vô hạn ( người ta chỉ công nhận các kết quả sau vì có nhiều cách khác sẽ đưa ra kết quả khác )

$$1-1+1-1+.....=\frac{1}{2}$$

$$1+2+3+4+...=\frac{-1}{12}$$

$$1-2+3-4+.....=\frac{1}{4}$$

- Vậy bản số của tập hợp là gì ? Hai tập hợp được gọi là tương đương và viết $A ~ B$ nếu có một song ánh từ $A$ lên $B$ , quan hệ này là một quan hệ tương đương thật sự . Ngoài ra nếu $A ~ B$ thì $A$ tương được với một tập con của $B$ hoặc ngược lại .

Định lý Cantor - Bernstein : Nếu tập $A$ tương đương với một tập con của $B$ và $B$ tương đương với một tập con của $B$ thì $A$ và $B$ tương đương .

- Từ việc xác định quan hệ tương đương trên các tập hợp , cho phép người ta đưa ra khái niệm bản số của tập hợp . Hai tập được gọi là cùng bản số nếu chúng tương đương với nhau . Bản số của tập $A$ kí hiệu là $|A$ ( như kiểu số phần tử ) hoặc là $Card(A)$ . Một tập được gọi là hữu hạn nếu nó cùng bản số với tập $1,2,3,...,n$ với $n$ nào đó tự nhiên . Một tập hợp được gọi là vô hạn đếm được nếu bản số của nó bằng $N$ , ngược lại gọi là vô hạn không đếm được . Ta viết rằng $|A| \leq |B|$ nếu $A$ tương đương với một tập con của $B$ . Khi đó rõ ràng quan hệ $\leq$ thì các lớp lực lượng tập hợp được sắp thứ tự toàn phần , nghĩa là hai bản số của hai tập bất kì luôn so sánh được . Một kết quả được khám phá bởi Cantor là $|A| < 2^{|A|}$ . Ngày nay gọi là định lý Cantor , nó rất giống với công thức ở đầu bài viết . Từ định lý của chính mình suy ra nghịch lý Cantor , để khắc phục ông đã phân loại và đưa ra các tiên đề , các lớp cho tập hợp .

Giả thuyết Continuum và tập các số siêu việt .

- Sau khi xây dựng ra lý thuyết bản số tập hợp , Cantor đã chứng minh rằng $|R| = 2^{|Q|}=2^{|N|}$ . như vậy thì $|R|>|Q|$ , lực lượng của $Q$ còn được gọi là $N_{0}$ . Còn lực lượng của $R$ là không đếm được là kí hiệu là $c$ , hay còn gọi là continuum . Đến nay ta mới chỉ biết đến có hai loại lực lượng vô hạn của các tập trên đường thẳng . Đó là lực lượng $N_{0}$ và $c$ . Một vấn đề đặt ra là liệu có tồn tại các lực lượng nằm giữa $c$ và $N_{0}$ . Cantor đưa ra giả thuyết " mọi tập vô hạn trên đường thẳng không đếm được có lực lượng $c$ . Giả thuyết này gọi là giả thuyết continuum . Nó là một vấn đề mở trong thời gian dài nhưng đã được Godel chứng minh là nó không mẫu thuẫn với các tiên đề của lý thuyết tập hợp , nói chung là toán học . Tức là dù nó đúng hay sai cũng không ảnh hưởng gì . Từ các xây dựng bản số ta thấy $N$ và $Q$ có lực lượng $N_{0}$ còn $R$ và $C$ là $c$ . Tập các số siêu việt cũng là $c$ , tức là tập các số mà mỗi số không là nghiệm một phương trình đa thức hệ số nguyên . Nó dày tới mức nếu trên mặt phẳng phức chỉ giữ lại các điểm siêu việt thì giá trị của diện tích Lebesgue trên các hình không hề thay đổi . Nhưng oái oăm thay mặc dù chiếm phần lớn tập số thực nhưng tới nay chưa ai có cách xác định rõ mấy anh chàng siêu việt này . Còn về lực lượng $2^{Q}=R$ tý nữa tớ sẽ chứng minh nhé .

Âm nhạc và các số hữu tỷ

- Từ cách xây dựng bản số và tương ứng $1-1$ Cantor đã là người đầu tiên trong lịch sử toán học dám thuần hóa cái vô hạn , đưa ra định nghĩa chặt chẽ và chính xác chứ không làm bí ẩn cái vô hạn . Giờ ta bàn về các số hữu tỷ , trước tiên như ở các cấp học ta đã biết số hữu tỷ , phân số , rồi phân số Ai Cập , ví dụ về chia chiếc bánh đó chính là các số hữu tỷ . Tập các số hữu tỷ là tập các số dạng $\frac{a}{b}$ trong đó $a,b$ là hai số nguyên và $b$ khác $0$ . Tập này dày đặc hơn tập các số tự nhiên rất nhiều . Trong thể kỉ $6$ trước CN , trường phái Pythagoras đã nghĩ rằng mọi thứ trong tự nhiên đều biểu diễn bằng thương hai số nguyên , ý tưởng này có thể bắt nguồn từ âm nhạc khi mà Pythagoras đã phát hiện ra rằng các nốt nhạc phát ra từ một sợi dây rung động theo tỷ số về chiều dài . Chẳng hạn hai nốt cách nhau một quãng tám , thì một nốt tạo bởi toàn bộ sợi dây . Các số hữu tỷ thống trị tư tưởng Hy Lạp cũng như lý trí thông trị triết học của họ . Do có vô số các số nguyên nên cũng có vô số các số hữu tỷ . Nhưng vấn đề cơ bản là ta có thể định nghĩa hai số nguyên liên tiếp , còn số hữu tỷ thì không , tức là giữa hai số hữu tỷ luôn có một số hữu tỷ khác hay nói cách khác gần như không có khoảng trống giữa các số hữu tỷ nói chung , một khác biệt cơ bản với tập số nguyên . Các khoảng giữa hai phân số có thể chia ra vô hạn . Ngược lại vật chất không thể chia ra vô hạn vì không thể chia vật chất ra khỏi thành phần cơ bản là hạt '' quark " , nghĩa là toán học không tồn tại thành phần cơ bản . Tập các số hữu tỷ dày đến vậy nhưng có phải là không đếm được , thoạt nhiên nhìn qua là thế nhưng chúng ta không thể dùng phán đoán để đánh giá về cái vô hạn , kiểu như câu nói không thể dùng hữu hạn nói về vô hạn . Năm $1874$ Cantor chứng minh dù dày như vậy nhưng bản số của $Q$ cũng chỉ bằng $N$ , tức là đếm được , sắp xếp được .

Sau đây là một chứng minh cho điều đó :

 - Dĩ nhiên ta chỉ cần chứng minh cho tập các số hữu tỷ dương , tức là các số dạng $\frac{p}{q}$ với $(p,q)=1,p,q>0$ là hai số nguyên . Ta sẽ chứng minh ánh xạ :

$$\frac{p}{q} \to  (p,q)$$

- Là một song ánh , muốn vậy ta sẽ chứng minh , tích trực tiếp của hai tập đếm được thì cũng đếm được , tức là sẽ chứng minh $S = N x N$ đếm được . Ta xếp tất cả các phần tử của $S$ thành một dãy vô hạn thỏa mãn , trước tiên xếp các cặp $(a,b) : a+b=2$  . Giả sử đã xếp xong $a+b=n-1$ ta xếp tiếp cặp $a+b=n-1$ , nếu hai cặp $(a,b),(c,d) : a+b=c+d=n$ thì cặp $(a,b)$ được xếp trước $(c,d)$ nếu $a<c$ . Vậy ta có điều phải chứng minh , tức là tập $Q$ là tập đếm được .

Các số vô tỷ gieo rắc sự hoảng loạn trong dân chúng .

 - Ban đầu Cantor nghĩ rằng mọi tập vô hạn đều có thể đếm được . Một lần nữa lại nhầm mà là nhầm to . Các số hữu tỷ rất dày đặc, nhưng không có nghĩa mọi khoảng trống bất kì có thể lấp đầy bằng các số hữu tỷ ? Luôn có những điểm không được biểu thị bằng những số hữu tỷ , người ta gọi nó là số vô tỷ . Bạn có thể hiểu điều này khi đọc qua bài ở đây , nói chung số thực là tập hợp của tất cả các dãy có chung một giới hạn . Vì vậy trên mạng xuất hiện các kiểu nghịch lý như $0,999...=1$ thực ra không phải nghịch lý mà nó hoàn toàn đúng . Các số vô tỷ , nói nôm na vô tỷ nghĩa là không biểu diễn dưới dạng tỷ số , khái niệm bù của số hữu tỷ . Chính việc xem xét tính đường chéo hình vuông đơn vị mà lộ ra sự tồn tại các số kỳ lạ này và gây ra khủng hoảng nghiêm trọng trong lịch sử toán học . Việc này chỉ kết thúc khi người ta thực thể hóa nó , chính là tập các số vô tỷ . Việc phát hiện số vô tỷ đầu tiên là $\sqrt{2}$ theo định lý nổi tiếng về tam giác vuông của ông  - một trong những định lý dùng nhiều nhất của toán học .Truyền thuyết kể rằng họ - trường phái Pythagoras đã hoảng loạng và choáng váng khi phát hiện ra điều này và giữ kín vì sợ gây rối loạn dân chúng . Tuy nhiên một trong số những người đó đã công bố và phải trả giá bằng việc bị ném xuống biển . Họ gọi các số này là irrational , nói nôm na họ coi nó là phi lý .

Các số vô tỷ nổi tiếng và công thức :

 -Về các số $\pi , e , \phi$ chắc mình không phải nói nhiều , chỉ đưa ra công thức đẹp đẹp để đến với phần phân loại các vô hạn :

$$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+... = \frac{\pi^{2}}{6}$$

$$\frac{2.2.4.5.6.6...}{1.3.3.5.5.7...}=\frac{\pi}{2}$$

$$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+....=\frac{\pi}{4}$$

$$1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+....= e$$

Phân loại các thứ bậc vô hạn và một mặt phẳng không chứa nhiều điểm hơn một đường thẳng , thậm chí là một đoạn thẳng .

Từ định lý Cantor là $2^{A}>A$ ta thấy nếu cho một vô hạn , luôn có vô hạn lớn hơn nó . Đó là cơ sở để phân thứ bậc các vô hạn . Sau khi chứng minh tồn tại nhiều kiểu vô hạn khác nhau thì Cantor quan tâm tới khái niệm chiều , tức là xem xét các vật thể với số chiều khác nhau . Khái niệm chiều là khái niệm cơ bản . Ví dụ điểm có chiều là $0$ , đường thẳng là $1$ , mặt phẳng là $2$ , không gian là $3$ và không - thời gian là $4$ , nói nôm na là số tọa độ tối thiểu biểu diễn vị trí một điểm trong cái mà ta đang xét . Lý thuyết dây hiện nay đề xuất $11$ chiều không gian trong vũ trụ trong đó $6,7$ chiều còn lại bị cuộn lại rất bé . Cantor đã đặt câu hỏi : mức độ vô hạn của một thực thể toán học thay đổi như thế nào so với chiều của nó ? Chẳng hạn mức độ một phẳng có " dày " hơn đường thẳng hơn . Lẽ thông thường thì phải nhiều hơn , nhưng ta lại sai vì không thể dùng trực giác để nói về cái vô hạn . Để trả lời điều này ta sẽ dùng đến hình học giải tích , hay học sinh ngày nay còn gọi là $xOy$ . Dĩ nhiên hệ tọa độ Descartes thì mình không cần nói nhiều thêm mà ta sẽ đi vào vấn đề : " Liệu trên mặt phẳng có nhiều điểm hơn đường thẳng không ? " Cantor đã sử dụng tới hệ tọa độ này xác định vị trí mỗi điểm trên mặt phẳng . Cantor đã tập trung khai thác đoạn thẳng $(0,1)$ gồm các số có dạng $\overline{0,a_{1}a_{2}a_{3}....}$ và $\overline{0,b_{1}b_{2}....}$ . Cantor đã khám phá ra song ánh ở đây là việc ghép cặp đan xen nhau hai số thành $\overline{0,a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}....}$ . Và như vậy số điểm trong hình vuông đơn vị cũng chỉ bằng trên đường thẳng đơn vị . Mặt khác đường thẳng đơn vị cùng lực lượng với $R$ còn hình vuông đơn vị cùng lực lượng với $R^{2}$ nên suy ra mặt phẳng cũng chỉ có số điểm bằng đường thẳng . Với lý luận tương tự Cantor chỉ ra rằng mọi vật thể trong không gian $n$ chiều tùy ý cũng chỉ bằng số điểm trong một đoạn $(0,a)$ với số thực $a>0$ bất kì . Khá là nghịch lý đúng không . Một kết quả gọi là " nhìn thấy nhưng không dám tin vào măt mình " - Dedekind ( $1831 - 1916$ , người đưa ra một cách xây dựng tập số thực ) . Chính Dedekin là người bạn của Cantor đã chứng minh lý thuyết của Cantor về vô hạn hoàn toàn tương thích và nhất quán với phần còn lại của toán học . Chúng ta đã thấy đi thấy lại rằng lẻ phải thông thường không phải là một người dẫn đường tốt khi nó liên quan tới vô hạn . Khi dấn thân vào lĩnh vực này ta không thể tin vào trực giác thông thường .

" Quan hệ với cái vô hạn chắc chắc không thể nói bằng kinh nghiệm - bởi vô  hạn đã vượt quá tư duy nghĩ về nó " - Triết gia Emmanuel Levinas .

" Quyển sách có số trang mà mỗi trang đánh dấu một số thực không thể đọc hết , giữa hai trang ta luôn tìm ra một trang nữa . Ta sẽ chôn nó để không ai biết , nó là cuốn sách của ma quỷ . " 

Sau đây là hai ví dụ rất hay :

Tập hoàn hảo :

- Một điểm gọi là điểm cô lập của tập $S$ nếu nó thuộc $S$ và có một lân cận của nó không chứa bất kì điểm nào của $S$ . Một tập gọi là tập hoàn hảo nếu mọi điểm của nó không là điểm cô lập .

Tập Cantor :

- Xét khoảng $E_{0}=[0,1]$ và $E_{1}$ là tập sau khi bỏ đi khoảng mở $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ . Tiếp tục làm như vậy với các đoạn còn lại , chia $3$ rồi bỏ đi đoạn ở giữa . Ta thu được một dãy $E_{n}$ thỏa mãn $E_{n+1} \subset E_{n}$ và $E_{n}$ gồm $2^{n}$ đoạn đóng chiều dài bằng $3^{-n}$ . Xét tập hợp

$$C = \bigcap_{n=0}^{\infty} E_{n}$$

Tập này gọi là tập Cantor ,hoàn hảo  , compact và không rỗng , ngoài ra nó còn có độ dài là $0$

Định lý : Tập hoàn hảo thì không đếm được do đó các tập $(0,1),[0,1]$ và Cantor là không đếm được .

                                                                                                                                         Nguồn :

                                                                                                                                                      Wikipedia tiếng Việt . 

                                                                                                                                                      Đại số tuyến tính - Nguyễn Hữu Việt Hưng .

                                                                                                                                                      Những tư tưởng cơ bản ẩn chứa trong toán học phổ thông - Dương Quốc Việt

                                                                                                                                                      Khát vọng vươn tới cái vô hạn - Trịnh Xuân Thuận

                                                                                                                                                      Bài giảng giải tích - Nguyễn Duy Tiến


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 09-11-2016 - 22:06

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1527 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 09-11-2016 - 22:08

Do mình sưu tầm từ các nguồn và chắp ghép lại và gõ tay nên có gì sai sót mọi người góp ý nhé , xin cảm ơn . 

Ghé thăm blog của tôi tại đây


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: infinite, math

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh