Chủ đề này có 4 trả lời

[lovemathforeverlqd]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$, đường cao $AH$ .$AI$, $AO$ lần lượt cắt dường tròn $(O)$ tại $D$ và $P$. $PI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Q$. Chừng minh $QD$ chia đôi $IH$

[quantv2006]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$, đường cao $AH$ .$AI$, $AO$ lần lượt cắt dường tròn $(O)$ tại $D$ và $P$. $PI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Q$. Chừng minh $QD$ chia đôi $IH$

 

Gọi A' là tiếp điểm của (I) và BC. Ta có Q, A', D thẳng hàng.

Gọi K là giao điểm của AI và BC. Gọi M là giao của QD và IH. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IHK với 3 điểm M, A', D thẳng hàng là ra thôi.

[lovemathforeverlqd]

Gọi A' là tiếp điểm của (I) và BC. Ta có Q, A', D thẳng hàng.

Gọi K là giao điểm của AI và BC. Gọi M là giao của QD và IH. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IHK với 3 điểm M, A', D thẳng hàng là ra thôi.

Vì sao Q,A',D thẳng hàng vậy bạn?

[quantv2006]

Vì sao Q,A',D thẳng hàng vậy bạn?

Gọi N là trung điểm của BC, T là giao của AQ và BC.

 

2 đường tròn (D; DI) và (AI) tiếp xúc với nhau tại I. Do TB.TC=TQ.AQ nên T nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn này. Vậy TI vuông góc với AD tại I.

 

Tứ giác TIND nội tiếp nên góc ITN = góc IDN. Góc IDN = góc OAD = góc PAD = góc PQD. Vậy góc ITN = góc PQD

 

Tứ giác TQIA' nội tiếp nên góc ITN = góc IQA'. Hay góc PQA' = góc ITN.

 

Vậy góc PQA' = góc PQD hay A', Q, D thẳng hàng.

[Kamii0909]

Đây là bài thi IMO 2010. Có khác nhiều cách làm.