Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$QD$ chia đôi $IH$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 lovemathforeverlqd

lovemathforeverlqd

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

Đã gửi 10-11-2016 - 08:47

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$, đường cao $AH$ .$AI$, $AO$ lần lượt cắt dường tròn $(O)$ tại $D$ và $P$. $PI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Q$. Chừng minh $QD$ chia đôi $IH$



#2 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Đã gửi 10-11-2016 - 11:40

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$, đường cao $AH$ .$AI$, $AO$ lần lượt cắt dường tròn $(O)$ tại $D$ và $P$. $PI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Q$. Chừng minh $QD$ chia đôi $IH$

 

Gọi A' là tiếp điểm của (I) và BC. Ta có Q, A', D thẳng hàng.

Gọi K là giao điểm của AI và BC. Gọi M là giao của QD và IH. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IHK với 3 điểm M, A', D thẳng hàng là ra thôi.



#3 lovemathforeverlqd

lovemathforeverlqd

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

Đã gửi 10-11-2016 - 13:15

Gọi A' là tiếp điểm của (I) và BC. Ta có Q, A', D thẳng hàng.

Gọi K là giao điểm của AI và BC. Gọi M là giao của QD và IH. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IHK với 3 điểm M, A', D thẳng hàng là ra thôi.

Vì sao Q,A',D thẳng hàng vậy bạn?



#4 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Đã gửi 10-11-2016 - 13:27

Vì sao Q,A',D thẳng hàng vậy bạn?

Gọi N là trung điểm của BC, T là giao của AQ và BC.

 

2 đường tròn (D; DI) và (AI) tiếp xúc với nhau tại I. Do TB.TC=TQ.AQ nên T nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn này. Vậy TI vuông góc với AD tại I.

 

Tứ giác TIND nội tiếp nên góc ITN = góc IDN. Góc IDN = góc OAD = góc PAD = góc PQD. Vậy góc ITN = góc PQD

 

Tứ giác TQIA' nội tiếp nên góc ITN = góc IQA'. Hay góc PQA' = góc ITN.

 

Vậy góc PQA' = góc PQD hay A', Q, D thẳng hàng.



#5 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 13-11-2016 - 11:49

Đây là bài thi IMO 2010. Có khác nhiều cách làm.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh