Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $IM$, $IN$ tiếp xúc với $(AMN)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-11-2016 - 23:58

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BD$, $CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là điểm chính giữa của cung $BC$ không chứa $A$. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AI$ cắt $AB$, $AC$ theo thứ tự tại $M$, $N$. Chứng minh $IM$, $IN$ tiếp xúc với $(AMN)$
$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#2 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Đã gửi 11-11-2016 - 10:23

Bài này có lẽ ngược với bài thi vào lớp 10 chuyên HN năm vừa rồi.

 

hh5.png

 

Chứng minh theo các bước sau:

 

1. Gọi K là giao của (AMN) và (O). HK sẽ vuông góc với AK tại K

 

- Chứng minh MH là phân giác góc EHB, NH là phân giác góc DHC. Từ đó có hệ thức ME/MB = HE/HB = HD/HC=ND/NC

 

- CM tam giác KMN và KBC đồng dạng, từ đó có tam giác KMB và KNC đồng dạng. Dựa vào ME/MB=ND/NC có tam giác KEB và KDC đồng dạng. Vậy KED và KBC đồng dạng. Nên góc EKD = góc BKC = góc BAC = góc EAD hay AKED là tứ giác nội tiếp.

 

- AKED là tứ giác nội tiếp nên K nằm trên (AED). AED có đường kính AH nên góc AKH vuông tại K.

 

2. KH cắt (O) tại G, cắt (AMN) tại P. AP và AG lần lượt là đường kính của (AMN) và (O).

 

Do AMN cân tại A nên tâm J của đường tròn (AMN) nằm trên AI, vậy P nằm trên AI.

 

3. Gọi Q là giao của KI và AH. Chứng minh góc PKQ = góc PAQ nên Q cũng nằm trên (AMN).

 

4. Dễ chứng minh được KA, MN, PQ đồng quy tại T.

 

5. Xét đường tròn (AMN) có 2 cát tuyến IQK, IPA; KA, PQ cắt nhau tại T. Cát tuyến TMN vuông góc với IJ. Vậy IM, IN là tiếp tuyến của (AMN) tâm J.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantv2006: 11-11-2016 - 10:46


#3 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 20-11-2016 - 16:48

Bài này có khá nhiều cách giải.
1.Dễ thấy $\Delta AMN $ cân.
Gọi giao điểm $(O)$ và $(ADE)$ là $K$.
Khi đó $K$ cũng thuộc $(AMN)$.
Dễ có $AI,KH$ cắt nhau tại 1 điểm trên $(AMN)$ là $X$.
Ta có $\frac{AM}{AN}=\frac{XM}{XN}$ nên AMXN điều hòa.
2. Theo định lý về tâm đẳng phương
$AK,BC,DE$ đồng quy tại $P$.
Gọi $Q$ là giao điểm $AH$ và $KI$.
Do $AO$,$AH$ đẳng giác nên $Q$ thuộc $(AMN)$.
$AQ$ cắt $BC$ tại $Y$.
Dễ có $(PY,BC)=-1$.
Chiếu hàng này lên $(AMN)$ thì $KMQN$ điều hòa.
Tư đó $KQ$ và $AX$ cắt nhau tại $I$ là giao điểm 2 tiếp tuyến của $(AMN)$.

#4 Le Ng Lan Phuong

Le Ng Lan Phuong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 20-11-2016 - 16:49

oa tuyệt thật






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh