Cho $a_1;a_2;...;a_{2013}$ với $a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2=1$.Cmr:
$$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$$
$...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}
Bắt đầu bởi 5S online, 11-11-2016 - 12:19
#2
Đã gửi 17-11-2016 - 19:18
Viet Hoang 99
-
- Điều hành viên THPT
-
- 2291 Bài viết
$\textbf{Trương Việt Hoàng}$
Cho $a_1;a_2;...;a_{2013}$ với $a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2=1$.Cmr:
$$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$$
$$VT\le \sqrt{2013\sum \dfrac{a_1^2}{(1+a_1^2)^2}}$$
Ta có đánh giá sau
$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{a_1^2}{(1+a_1^2)^2}\le \dfrac{a_1^2}{1+a_1^2}=1-\dfrac{1}{1+a_1^2} & & \\ \dfrac{a_2^2}{(1+a_1^2+a_2^2)^2}\le \dfrac{a_2^2}{(1+a_1^2+a_2^2)(1+a_1^2)}=\dfrac{1}{1+a_1^2}-\dfrac{1}{1+a_1^2+a_2^2} & & \\ ... \\ \dfrac{a_{2013}^2}{(1+a_1^2+...+a_{2013}^2)^2}\le \dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2012}^2}-\dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2013}^2} \end{matrix}\right.$$
Cộng theo vế
$$VT\le \sqrt{2013\left ( 1-\dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2013}^2} \right )}=\sqrt{2013\left (1-\dfrac{1}{2} \right )}=VP$$
Dấu bằng không xảy ra.
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
