Thời gian: 3h
1. Cho số nguyên dương $n\geq 2$ và $n$ số thực $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ sao cho $a_1>-1,a_2\geq\frac{n-1}{2}$. Giả sử phương trình
$x_n^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots +a_{n-1}x+a_n=0$
có đúng $n$ nghiệm thực. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm đó nằm trong đoạn $[-a_1,a_1+2]$.2. Với mỗi số nguyên dương $n$, xét phương trình
$2016^x+x+n=0$
CMR với mỗi $n$, phương trình trên có đúng một nghiệm thực và gọi nghiệm đó là $x_n$. Xét dãy ${x_n}$. Tìm$lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n+1}-x_n)$.
3. Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D,E$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$. Đường tròn $(ADE)$ cắt các đường tròn $(BCD)$ và $(BCE)$ lần lượt tại $P,Q$. CMR $AP=AQ$.4. Số nguyên dương $n$ được gọi là đẹp nếu tồn tại một hoán vị của bộ $\left\{ 1,1,2,2,\ldots, n,n\right\}$ sao cho với mọi $k=1,2\ldots ,n$, giữa 2 số $k$ có đúng $k$ số (ví dụ, $n=3$ là số đẹp vì có bộ $\left\{ 2,3,1,2,1,3\right\}$). CMR $n$ là số đẹp nếu và chỉ nếu $4|n^2+n$.
5. CMR với mọi $n$ nguyên dương luôn tồn tại các số nguyên $x,y$ sao cho
$n|x^3-35y^3+1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 13-11-2016 - 14:34