Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Black Pearl

Black Pearl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Toán học, âm nhạc,...

Đã gửi 12-11-2016 - 23:23

1.cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$

2.Cho $\sum \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2011}$. CMR $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$


-Huyensonenguyen-


#2 NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 346 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{K50}}\sim \boxed{\text{CSP}}$

Đã gửi 12-11-2016 - 23:34

1.cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$

 

Dùng BĐT Bunhia có:

 $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}$$\leq \sqrt{3\left ( \sum \frac{a}{2a+b+c} \right )}\leq \sqrt{3\left ( \sum \frac{a}{\left ( a+b \right )+\left ( a+c \right )} \right )}\leq \sqrt{\frac{3}{4}\left ( \sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{a}{a+c} \right )}=\frac{3}{2}$


$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#3 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 13-11-2016 - 06:57

LÀm câu 2 do Giả sử $a\geq b\geq c$  Ta có

    $a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2}                 \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{a+c}\geq \frac{1}{a+b}$

Theo BĐT chewbusep ta được:

  $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum a^{2}.\sum \frac{1}{b+c}\geq \sum a^{2}.\frac{9}{2(a+b+c)}$

Đên đây ta tìm Min của $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ và Max của a+b+c ta sẽ c.m đc bài toán

 Trước tiên tìm Min:  $a^{2}+b^{2}+c^{2}$          $(\sum (\sqrt{a^{2}+b^{2}}.1))^{2}\leq \left (1+1+1)(\sum (a^{2}+b^{2}))$

Do đó tìm được min

CònmMin thì dùng BĐT Phụ sau cho các số hạng trên giả thiết: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 13-11-2016 - 07:00


#4 iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Đọc Manga , Xem Anime , Đá Bóng ,....

Đã gửi 13-11-2016 - 09:46

1.cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$

2.Cho $\sum \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2011}$. CMR $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

B 2 ạ . Bài này trước bạn Nguyễn Thị Tăng có up lên VMF r b :)

DQwyTxG.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 13-11-2016 - 09:46

Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096


#5 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 14-11-2016 - 21:30

B 2 ạ . Bài này trước bạn Nguyễn Thị Tăng có up lên VMF r b :)

DQwyTxG.png

Bài này của mình đăng nhé
À quên nhắc nhở bạn Đức Anh ăn nói cẩn thận tôn trọng mình chút nhé =))
Mình tên Nguyễn Phúc Tăng không phải Nguyễn Thị Tăng bạn ăn nói cẩn thận chút nhé 



#6 le truong son

le truong son

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Võ Nguyên Giap

Đã gửi 14-11-2016 - 22:12

1.cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$

2.Cho $\sum \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2011}$. CMR $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

Cách khác bài 2(khá đẹp):

$\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sqrt{2}\sum \frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}$

Đặt $\sqrt{b^2+c^2}=x;\sqrt{c^2+a^2}=y;\sqrt{a^2+b^2}=z=>x+y+z=\sqrt{2011} =>P=\sqrt{2}\sum \frac{y^2+z^2-x^2}{2x}=\sum \frac{y^2+z^2}{\sqrt{2}x}-\sum \frac{x}{\sqrt{2}}\geq 2.\frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{2}(x+y+z)}-\frac{x+y+z}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$



#7 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 15-11-2016 - 19:26

1 cách nữa cho bài 2.
Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$.
Khi đó $VP \geq \sum \frac{b^2}{b+c}$ và$ VP \geq \sum \frac{c^2}{c+a}$
Từ đó ta đi chứng minh
$\sum \frac{b^2+c^2}{b+c} \geq \sqrt \frac{2011}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $2VP \geq \frac{(\sum \sqrt {a^2+b^2})^2 }{2\sum a}$
Dễ dàng suy ra đpcm từ đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 15-11-2016 - 19:32





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh