Đến nội dung

Hình ảnh

cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Black Pearl

Black Pearl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết

1.cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$

2.Cho $\sum \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2011}$. CMR $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$


-Huyensonenguyen-


#2
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

1.cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$

 

Dùng BĐT Bunhia có:

 $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}$$\leq \sqrt{3\left ( \sum \frac{a}{2a+b+c} \right )}\leq \sqrt{3\left ( \sum \frac{a}{\left ( a+b \right )+\left ( a+c \right )} \right )}\leq \sqrt{\frac{3}{4}\left ( \sum \frac{a}{a+b}+\sum \frac{a}{a+c} \right )}=\frac{3}{2}$


$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#3
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

LÀm câu 2 do Giả sử $a\geq b\geq c$  Ta có

    $a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2}                 \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{a+c}\geq \frac{1}{a+b}$

Theo BĐT chewbusep ta được:

  $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum a^{2}.\sum \frac{1}{b+c}\geq \sum a^{2}.\frac{9}{2(a+b+c)}$

Đên đây ta tìm Min của $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ và Max của a+b+c ta sẽ c.m đc bài toán

 Trước tiên tìm Min:  $a^{2}+b^{2}+c^{2}$          $(\sum (\sqrt{a^{2}+b^{2}}.1))^{2}\leq \left (1+1+1)(\sum (a^{2}+b^{2}))$

Do đó tìm được min

CònmMin thì dùng BĐT Phụ sau cho các số hạng trên giả thiết: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 13-11-2016 - 07:00


#4
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

1.cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$

2.Cho $\sum \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2011}$. CMR $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

B 2 ạ . Bài này trước bạn Nguyễn Thị Tăng có up lên VMF r b :)

DQwyTxG.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 13-11-2016 - 09:46

Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096


#5
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

B 2 ạ . Bài này trước bạn Nguyễn Thị Tăng có up lên VMF r b :)

DQwyTxG.png

Bài này của mình đăng nhé
À quên nhắc nhở bạn Đức Anh ăn nói cẩn thận tôn trọng mình chút nhé =))
Mình tên Nguyễn Phúc Tăng không phải Nguyễn Thị Tăng bạn ăn nói cẩn thận chút nhé 



#6
le truong son

le truong son

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

1.cho a,b,c>0.CMR: $\sum \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\leq \frac{3}{2}$

2.Cho $\sum \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2011}$. CMR $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

Cách khác bài 2(khá đẹp):

$\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sqrt{2}\sum \frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}$

Đặt $\sqrt{b^2+c^2}=x;\sqrt{c^2+a^2}=y;\sqrt{a^2+b^2}=z=>x+y+z=\sqrt{2011} =>P=\sqrt{2}\sum \frac{y^2+z^2-x^2}{2x}=\sum \frac{y^2+z^2}{\sqrt{2}x}-\sum \frac{x}{\sqrt{2}}\geq 2.\frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{2}(x+y+z)}-\frac{x+y+z}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$



#7
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
1 cách nữa cho bài 2.
Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$.
Khi đó $VP \geq \sum \frac{b^2}{b+c}$ và$ VP \geq \sum \frac{c^2}{c+a}$
Từ đó ta đi chứng minh
$\sum \frac{b^2+c^2}{b+c} \geq \sqrt \frac{2011}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $2VP \geq \frac{(\sum \sqrt {a^2+b^2})^2 }{2\sum a}$
Dễ dàng suy ra đpcm từ đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 15-11-2016 - 19:32





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh