Chủ đề này có 4 trả lời

[Dark Repulsor]

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$, tâm nội tiếp $I$. $(H),(K),(L)$ lần lượt là $3$ đg tròn Mixtilinear tương ứng trong góc $A,B,C$ .$(H),(K),(L)$ lần lượt tiếp xúc $(O)$ tại $X,Y,Z$

$a)$ CMR: $AX,BY,CZ$ đồng quy (chỉ sử dụng đ/lý $Ceva$ $sin$) . Nếu dùng đ/lý $Monge$ $D'Alembert$ thì $AX,BY,CZ$ đồng quy tại $P$ là tâm vị tự ngoài của $(I)$ và $(O)$

$b)$ Gọi $G$ là trọng tâm, $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác của $P$ trog $\triangle ABC$. CMR: $I,G,Q$ thẳng hàng (hay $Q$ nằm trên đg thẳng $Nagel$ của $\triangle ABC$)

P/s: Có thể $Q$ là $1$ điểm đặc biệt nào đó trog tam giác nhưng mik chưa bik mong mọi người chỉ giáo júp (cụ thể là điểm liên hợp đẳng giác của tâm vị tự ngoài của đg tròn nội tiếp và đg tròn ngoại tiếp trog $1$ tam giác) 

Hình gửi kèm

• 

[halloffame]

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$, tâm nội tiếp $I$. $(H),(K),(L)$ lần lượt là $3$ đg tròn Mixtilinear tương ứng trong góc $A,B,C$ .$(H),(K),(L)$ lần lượt tiếp xúc $(O)$ tại $X,Y,Z$

$a)$ CMR: $AX,BY,CZ$ đồng quy (chỉ sử dụng đ/lý $Ceva$ $sin$) . Nếu dùng đ/lý $Monge$ $D'Alembert$ thì $AX,BY,CZ$ đồng quy tại $P$ là tâm vị tự ngoài của $(I)$ và $(O)$

$b)$ Gọi $G$ là trọng tâm, $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác của $P$ trog $\triangle ABC$. CMR: $I,G,Q$ thẳng hàng (hay $Q$ nằm trên đg thẳng $Nagel$ của $\triangle ABC$)

P/s: Có thể $Q$ là $1$ điểm đặc biệt nào đó trog tam giác nhưng mik chưa bik mong mọi người chỉ giáo júp (cụ thể là điểm liên hợp đẳng giác của tâm vị tự ngoài của đg tròn nội tiếp và đg tròn ngoại tiếp trog $1$ tam giác) 

Điểm $Q$ chính là điểm Nagel!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 14-11-2016 - 23:54

[Dark Repulsor]

Điểm $Q$ chính là điểm Nagel!

Bạn c/m tâm vị tự ngoài của đg tròn nt và ngoại tiếp liên hợp đẳng giác với điểm $Nagel$ với cảm ơn nhiều ! 

[Bonjour]

Với $S$ là điểm $Spieker$ của tam giác $ABC$ thì cũng có kết quả $(I,S,G,N)=-1$ 

[halloffame]

Bạn c/m tâm vị tự ngoài của đg tròn nt và ngoại tiếp liên hợp đẳng giác với điểm $Nagel$ với cảm ơn nhiều ! 

Như vậy ta phải c/m bổ đề sau:

Bổ đề. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có $(O_a)$ là đường tròn $A-inmixtilinear,(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A.(O_a)$ tiếp xúc $(O)$ ở $D,(I_a)$ tiếp xúc $BC$ ở $E.$ Khi đó $AE,AD$ đẳng giác trong góc $\widehat{BAC}.$

Chứng minh.  Xét phép biến hình $f$ là hợp của phép nghịch đảo $I_{A}^{AB.AC}$ và phép đối xứng qua phân giác góc $\widehat{BAC}.$

Ta lần lượt chứng minh được $f((O))=BC,f(BC)=(O),f((O_a))=(I_a),f(D)=E,f(AD)=f(AE).$ Do đó $AE,AD$ đẳng giác trong góc $\widehat{BAC}$ và ta có đpcm.