Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{21n+4}{14n+3}$ tối giản

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
sanghamhoc

sanghamhoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

Câu 1 Cho p là số nguyên tố lẻ, cm : $\sum_{k=1}^{p} C _{p}^{k} C_{p+k}^{k}-(2^{p}+1)\vdots p^{2}$
Câu 2: Cmr $\forall$ số tự nhiên n, phân số sau đây tối giản : $\frac{21n+4}{14n+3}$
Câu 3:$B=\frac{1}{630}x^{9} -\frac{1}{27}x^{7}+\frac{13}{30}x^{5}-\frac{82}{63}x^{3}+\frac{32}{35}x$
Cmr $B\in Z \forall x\in Z$

Câu 4: Cmr với mọi số nguyên a;b
(3a+5b;8a+13b)=(a;b)



#2
Kagome

Kagome

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

Câu 2: Cmr $\forall$ số tự nhiên n, phân số sau đây tối giản : $\frac{21n+4}{14n+3}$

Đặt $(21n+4,14n+3)=d$  $(d \in \mathbb{N}, d \neq 0)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 21n & + & 4 & \vdots & d\\ 14n & + & 3 & \vdots & d \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 42n & + & 8 & \vdots & d\\ 42n & + & 9 & \vdots & d \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 1\vdots d \Rightarrow d=1$

Vậy...



#3
foollock holmes

foollock holmes

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết

Cách của mình hơi dài với dở,ko biết đúng không, hi vọng có cách khác :

mà hình như đề sai k chạy từ 0 mới đúng

Câu 1: vế trái = $1+C_{2p}^{p}+\sum_{k=1}^{p-1}C_{p}^{k}.(C_{p+k}^{k}-1)-3$

$C_{p+k}^{k}=\frac{(p+1)(p+2)...(p+k)}{k!}\equiv \frac{k!}{k!}\equiv 1(mod\space p)\space \forall k = \overline{1;p-1}$

mà ta có : $ C_{p}^{k} \vdots p \space \forall k = \overline {1;p-1}$

do đó ta chỉ cần chứng minh $C_{2p}^p-2 \vdots p^2$

$C_{2p}^{p}=\frac{2p.(p+p-1).(p+p-2)...(p+1)}{p.(p-1)!}=2.\frac{(p+p-1).(p+p-2)...(p+1)}{(p-1)!}=\\=2\frac{1}{(p-1)!}.[p.\sum_{p-1}^{k=1}\frac{(p-1)!}{k}+(p-1)!+p^2.A]$

vậy ta cần chứng minh $\sum_{p-1}^{k=1}\frac{(p-1)!}{k} \vdots p$

mà vì p là số nguyên tố lẻ nên $\sum_{k=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}{k}=\frac{(p-1)!}{k}+\frac{(p-1)!}{p-k}=(p-1)!.\frac{p}{(p-k).k} \vdots p$

suy ra điều phải chứng minh



#4
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Câu 4: Cmr với mọi số nguyên a;b

(3a+5b;8a+13b)=(a;b)

Dĩ nhiên nếu $d$ là ƯCLN của $a,b$ thì $3a+5b \vdots d;8a+13b \vdots d \Rightarrow (3a+5b,8a+13b) \vdots d.$

Gọi $x=(3a+5b,8a+13b) \Rightarrow 5a+8b \vdots x \Rightarrow 2a+3b \vdots x \Rightarrow a+2b \vdots x \Rightarrow 3a+6b \vdots x \Rightarrow b \vdots x \Rightarrow a \vdots x \Rightarrow (a,b) \vdots x.$

Vậy $(3a+5b,8a+13b) \vdots (a,b);(a,b) \vdots (3a+5b,8a+13b) \Rightarrow (3a+5b,8a+13b)=(a,b).$ Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 29-01-2017 - 17:37

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.


#5
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Câu 3:$B=\frac{1}{630}x^{9} -\frac{1}{27}x^{7}+\frac{13}{30}x^{5}-\frac{82}{63}x^{3}+\frac{32}{35}x$
Cmr $B\in Z \forall x\in Z$

 

Câu 3: Ta có $ P(x)=\dfrac{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{2.5.7.9}$

Với $ x \in \mathbb{Z}$ ta có $ x-4, x-3,...,x+4$ là 9 số nguyên liên tiếp nên đồng thời chia hết cho $ 2, 5, 7, 9$

và $ (2, 5, 7, 9)=1$ nên có đpcm.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh