Chủ đề này có 1 trả lời

[bangbang1412]

Cho đơn ánh $f : X \to Y$ và giả sử trên $Y$ trang bị một topo $\Im_{Y}$ . Xét topo $(X , \Im_{X})$ trong đó $\Im_{X}=\left \{ f^{-1}(U): U \subset \Im_{Y} \right \}$ , giả sử $f(X)$ đóng trong $Y$. Chứng minh rằng nếu $Y$ là Hausdorff và compact thì $X$ compact . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-11-2016 - 18:53

[bangbang1412]

Giả thiết $Hausdorff$ là yếu ta có thể bỏ qua .

Xét hạn chế của ánh xạ : 

$$f_{X} : X \to f(X)$$

Do $f$ đơn ánh nên $f_{X}$ là song ánh , ta xây dựng không gian topo con của $Y$ là $\Im_{f(X)}$ . Xét ánh xạ $g = f^{-1}$ như sau : 

$$g : (f(X),\Im_{f(X)}) \to (X,\Im_{X})$$

Ta sẽ chứng minh :

$$(f(X),\Im_{f(X)}) \simeq (X,\Im_{X})$$ ( đồng phôi )

Giờ ta chứng minh $g$ liên tục : 

Sự liên tục : 

$$\forall V=f^{-1}(U)=g(U) \in \Im_{X} , g^{-1}(V)=U$$

Sẽ là mở trong $f(X)$ , thật vậy ta có :

$$g^{-1}(V)=g^{-1}(V) \cap f(X) = U \cap f(X) \subset \Im_{f(X)}$$

Ta chứng minh $g$ mở , với :

$$U \cap f(X) \subset \Im_{f(X)}$$

$$g(U \cap f(X))= f^{-1}(U) \cap X$$

Như vậy $g$ là ánh xạ mở , do đó $g$ là đồng phôi

Nên $X$ đồng phôi với $f(X)$  hơn nữa $f(X)$ là tập đóng trên $Y$ nên nó cũng compact , do đó $X$ compact .