Giả thiết $Hausdorff$ là yếu ta có thể bỏ qua .
Xét hạn chế của ánh xạ :
$$f_{X} : X \to f(X)$$
Do $f$ đơn ánh nên $f_{X}$ là song ánh , ta xây dựng không gian topo con của $Y$ là $\Im_{f(X)}$ . Xét ánh xạ $g = f^{-1}$ như sau :
$$g : (f(X),\Im_{f(X)}) \to (X,\Im_{X})$$
Ta sẽ chứng minh :
$$(f(X),\Im_{f(X)}) \simeq (X,\Im_{X})$$ ( đồng phôi )
Giờ ta chứng minh $g$ liên tục :
Sự liên tục :
$$\forall V=f^{-1}(U)=g(U) \in \Im_{X} , g^{-1}(V)=U$$
Sẽ là mở trong $f(X)$ , thật vậy ta có :
$$g^{-1}(V)=g^{-1}(V) \cap f(X) = U \cap f(X) \subset \Im_{f(X)}$$
Ta chứng minh $g$ mở , với :
$$U \cap f(X) \subset \Im_{f(X)}$$
$$g(U \cap f(X))= f^{-1}(U) \cap X$$
Như vậy $g$ là ánh xạ mở , do đó $g$ là đồng phôi
Nên $X$ đồng phôi với $f(X)$ hơn nữa $f(X)$ là tập đóng trên $Y$ nên nó cũng compact , do đó $X$ compact .