Chủ đề này có 6 trả lời

[tritanngo99]

(Archimede) Với mọi $\epsilon >0$ cho trước, với mọi $x>0$ cho trước, luôn tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $k\epsilon>x$

[chanhquocnghiem]

(Archimede) Với mọi $\epsilon >0$ cho trước, với mọi $x>0$ cho trước, luôn tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $k\epsilon>x$

Chỉ cần chọn số nguyên dương $k$ sao cho $k> \frac{x}{\epsilon }$ thì khi đó ta sẽ có :

$k\epsilon > x$.

[tay du ki]

(Archimede) Với mọi $\epsilon >0$ cho trước, với mọi $x>0$ cho trước, luôn tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $k\epsilon>x$

mình không hiểu nguyên lí này à sao nữa . hình như là luôn đúng 

[bangbang1412]

mình không hiểu nguyên lí này à sao nữa . hình như là luôn đúng 

 

Chỉ cần chọn số nguyên dương $k$ sao cho $k> \frac{x}{\epsilon }$ thì khi đó ta sẽ có :

$k\epsilon > x$.

Hai người đều nhầm , vấn đề này không hiển nhiên đâu nhé . 

Định lý Arichimedes : Với mọi $x > 0, y \in R$ tồn tại $n \in Z$ sao cho : $y < nx$

Chứng minh : 

Xét tập : 

$$A=\left \{ px : p \in Z \right \}$$

Nếu không tồn tại $p$ mà $px > y$ thì $y$ là một chặn trên của $A$ , theo tiên đề cận trên đúng tồn tại $z=supA$ . Do $x>0$ nên tồn tại $p\in Z$ sao cho $z-x <px$ nhưng khi đó $z<(p+1)x$ mà $(p+1)x \in A$ vô lý . Vậy tồn tại $n$ mà $nx>y$

Một số vấn đề khác không hiển nhiên :

$a)$ Tập $N$ không bị chặn trên và tập $Z$ không bị chặn dưới . 

$b)$ Giữa hai số thực $a < b$ tồn tại mốt số hữu tỷ $r$ mà $a<r<b$

$c)$ Rộng hơn định lý vừa nói là tồn tại $(n-1)x\leq y <nx$ , đây chính là cái định nghĩa phần nguyên 

$d)$ Cho $x>0,n \in N^{*}$ tồn tại duy nhất $y>0$ sao cho $y^{n}=x$

Để giải được thì mọi người phải hiểu thế nào là số thực , tiên đề cận trên cận dưới đúng 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-11-2016 - 16:46

[DangHongPhuc]

Một số vấn đề khác không hiển nhiên :

$a)$ Tập $N$ không bị chặn trên và tập $Z$ không bị chặn dưới . 

$b)$ Giữa hai số thực $a < b$ tồn tại mốt số hữu tỷ $r$ mà $a<r<b$

Bất ngờ thật. Vậy mà từ trước đến nay đó toàn là những diều hiển nhiên chứ

[tritanngo99]

Dưới đây là phần chứng minh như mình đã nêu ở đầu trang.

Chứng minh: Ta dùng lập luận phản chứng. Giả sử điều khẳng định của định lí là không đúng, nghĩa là $\forall n\in \mathbb{N}^*,n\epsilon\le x$.

Khi đó tập hợp $E=(n\epsilon: n\in \mathbb{N}^*)$ là một tập hợp trong $R$, không rỗng và bị chặn trên. Theo tiên đề cận trên đúng, tồn tại $b=sup(E)$.

Vì $b-\epsilon<b,b-\epsilon$ không là cận trên của $E$ do đó tồn tại $n_0\in N^*$ sao cho : $n_0\epsilon>b-\epsilon$ hay $(n_0+1)\epsilon>b$ điều này mâu thuẫn với định nghĩa cận trên đúng của b. Định lí được chứng minh.

Hệ quả: Với mọi $x\in \mathbb{R}$, tồn tại $k\in \mathbb{Z}$ sao cho: $k\le x<k+1$

[tritanngo99]

Chứng minh: Giữa hai số thực bất kì luôn tồn tại một số hữu tỉ.

Chứng minh: Giả sử $c,d$ là hai số thực với $c<d$. Vì $d-c>0$ nên theo định lí $Archimede$, tồn tại $q\in \mathbb{N}^*$ sao cho $1<(d-c)q$.

Hay $cq+1<dq$.

Mặt khác, theo hệ quả của định lí $Archimede$, tồn tại $p\in \mathbb{Z}$ sao cho $p\le cq+1<p+1$.

Từ đây suy ra: $p-1\le cq<p\le cq+1<dq$.

Từ $cq<p<dq,$ ta được:

$c<\frac{p}{q}<d,\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\implies Q.E.D$.

Hệ quả: Giữa hai số thực bất kì có vô số số hữu tỉ.