Chủ đề này có 64 trả lời

[mathsomega]

Các bạn nên đọc kĩ phần chú ý của topic nhé
Gõ latex. Đây cũng là nội quy chung của diễn đàn trong 24h tới các bạn không sử bài mình sẽ báo cáo hết
Mong các bạn tuân thủ.

Cảm ơn bạn, nhưng mình ko biết gõ latex và xoá bài viết. Mình sẽ sửa lại.

[Nguyenphuctang]

Cảm ơn bạn, nhưng mình ko biết gõ latex và xoá bài viết. Mình sẽ sửa lại.

http://diendantoanho...-dụng-diễn-đàn/
Bạn vào đấy tham khảo nhé đừng đăng(spam) ở topic này

[Nguyenphuctang]

• Bài 22 : [Ukraine 1992]

Cho $a\geq b\geq c>0$. Chứng minh rằng : 

$\frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\geq 3a-4b+c$

• Bài 23 : [IMO Shortlist 1993]

Cho a, b, c, d là các số thực dương . Chứng minh rằng : 

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$

• Bài 24 : [Italia 1993]

Cho a, b, c $\in [0,1]$. Chứng minh rằng : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

 

• Bài 25 : [Poland 1993] 

Cho x, y, u, v > 0. Chứng minh rằng : 

$\frac{xy+xv+yu+uv}{x+y+u+v}\geq \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v}$

[mathsomega]

 

• Bài 22 : [Ukraine 1992]

Cho $a\geq b\geq c>0$. Chứng minh rằng : 

$\frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\geq 3a-4b+c$

• Bài 23 : [IMO Shortlist 1993]

Cho a, b, c, d là các số thực dương . Chứng minh rằng : 

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$

• Bài 24 : [Italia 1993]

Cho a, b, c $\in [0,1]$. Chứng minh rằng : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

 

• Bài 25 : [Poland 1993] 

Cho x, y, u, v > 0. Chứng minh rằng : 

$\frac{xy+xv+yu+uv}{x+y+u+v}\geq \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v}$

 

Bài 23:

Theo bđt Bunhiacopski và bđt Cauchy, ta có:

$3\left ( \sum a \right )^2\geq 8\sum ab (1)$

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^2}{\sum 4ab}\geq \frac{2}{3}$

(do (1)) (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 22-11-2016 - 17:31

[loolo]

Bài 23:

Chứng minh bổ đề: $3(a+b+c+d)^{2}\geq 8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \sum \frac{a^{2}}{ab+2ac+3ad}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{\frac{3}{2}(a+b+c+d)^{2}}=\frac{2}{3}$

[Nguyenphuctang]

• Bài 26 : [Poland 1996]

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

[yeutoan2001]

 

• Bài 26 : [Poland 1996]

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

 

Có đánh giá sau:  $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{36a+3}{50} <=> (3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$

Tương tự với các phân thức còn lại 

[Nguyenphuctang]

• Bài 27: [Belarus 1998]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{b}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

[I Love MC]

Có đánh giá sau:  $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{36a+3}{50} <=> (3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$

Tương tự với các phân thức còn lại 

Số thực bạn nhé 

[I Love MC]

 

• Bài 26 : [Poland 1996]

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

 

$a,b,c \in \mathbb{R} \Rightarrow$ tồn tại $a,b$ cùng lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ và ngược lại 
Khi đó $(a-\frac{1}{3})(b-\frac{1}{3}) \ge 0 \Rightarrow a^2+b^2 \le (a+b-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{9}=(\frac{2}{3}-c)^2+\frac{1}{9}$ 
BĐT C/m $\Leftrightarrow \sum \frac{(a-1)^2}{a^2+1} \ge \frac{4}{5}$  
Có $ \frac{(a-1)^2}{a^2+1}+ \frac{(b-1)^2}{b^2+1} \ge \frac{(a+b-2)^2}{a^2+b^2+2} \ge \frac{(c+1)^2}{(\frac{2}{3}-c)^2+\frac{1}{9}}$ 
Ta sẽ đi chứng minh  $\frac{(c+1)^2}{(\frac{2}{3}-c)^2+\frac{1}{9}}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1} \ge \frac{4}{5}$ 
$\Leftrightarrow (3c-1)^2(2c^2+2c+11) \ge 0$ (đúng) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 22-11-2016 - 19:44

[Nguyenphuctang]

• Bài 27: [Korea 2000]

Cho các số thực a, b, c, x, y, z thoả mãn $a\geq b\geq c>0$ và $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}x^{2}}{(by+cz)(bz+cy)}\geq \frac{3}{4}$

[Nguyenphuctang]

• Bài 28:  [Bulgaria 1997]

Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{1+a+b}\leq \frac{1}{a+2}$

[I Love MC]

 

• Bài 24 : [Italia 1993]

Cho a, b, c $\in [0,1]$. Chứng minh rằng : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

 

 

 

BĐT c/m $\Leftrightarrow a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a) \le 1$ (1)
$a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a) \le a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)$ (2)
Mà $(1-a)(1-b)(1-c) \ge 0 \Rightarrow 1-abc \ge a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)$  (3) 
(1)+(2)+(3) $\Rightarrow$ đpcm

[nguyen cong dat]

Có đánh giá sau:  $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{36a+3}{50} <=> (3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$
Tương tự với các phân thức còn lại

Bạn dùng ppUCT hả

[Nguyenphuctang]

Bạn dùng ppUCT hả

Bạn ấy dùng UCT nhưng sai rồi vì điều kiện a, b, c là số thực.
Tiếp tục với topic :

• Bài 29: [Vo Quoc Ba Can, Viet Nam IMO training camp 2009]

Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho a + b + c > 0. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{3}\leq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{^{2}}}\leq \frac{1}{2}$

[nguyen cong dat]

bai 29

 ta cm $\frac{1}{3}\leq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2})}$

cm bdt phu $(b+c)^{2}\leq 3(b^{2}+c^{2})(1) \Leftrightarrow b^{2}-bc+c^{2}\geq 0(dung) \Rightarrow (1) dung$

bdt da cho tuong duong$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \sum\frac{a^{2}}{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}= \frac{1}{3}$

 

cm $\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq \frac{1}{2}$

ta chuan hoa a+b+c=1

bdt da cho tuong duong$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( 1-a \right )^{2}}\leq\frac{1}{2}$

ta co $\frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( 1-a \right )^{2}}\leq \frac{a}{2}$ (vi $-a\left ( 2a-1 \right )^{2}\leq 0\left ( 2 \right )$

tuong tu ta co

$\frac{b^{2}}{3b^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}}\leq\frac{b}{2}$(3)

$\frac{c^{2}}{3c^{2}+\left ( 1-c \right )^{2}}\leq \frac{c}{2}$(4)

tu (2),(3),(4)$\Rightarrow$  $\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq \frac{1}{2}$

[Nguyenphuctang]

Tiếp tục:

• Bài 30: [Trần Nam Dũng, VMO 2008]

Cho x, y, z là các số thực không âm. thoả mãn xy + yz + xz khác 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{(x-y)^2}\geq \frac{4}{xy+yz+zx}$

[Nguyenphuctang]

• Bài 31: [UK 2005]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}$

 

Ý kiến cá nhân: bài này tương đối khó!     

[Nguyenphuctang]

• Bài 32: [Iran 2008]

Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = 1.Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{a^{3}+a}\geq 2\sqrt{a+b+c}$

[dungxibo123]

 

• Bài 32: [Iran 2008]

Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = 1.Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{a^{3}+a}\geq 2\sqrt{a+b+c}$

 

Bài 32 : 

• ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $ \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
• ta sử dụng BĐT Jensen cho ham $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ta được $ \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{\sum_{sym} a^2b}{a+b+c}}}$ 
• lúc đó ta cần chứng minh $ (a+b+c)^2(\sum_{sym} a^2b+2abc)\geq 4(ab+bc+ca)(\sum_{sym} a^2b)$ không mất tổng quát  ta giả sử $c=min{a,b,c}$ 
• ta có thể viết bất đẳng thức trên thành$ (a-b)^2(a^2b+b^2a+a^2c+b^2c-ac^2-bc^2)+c^2(a+b)(c-a)(c-b)\geq 0$