Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 3 Bình chọn

Bất đẳng thức qua các kì thi toán quốc tế

imo olympiad kvant imo shortlist tst jbmo apmo mosp balkan

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 64 trả lời

#21 mathsomega

mathsomega

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Văn học

Đã gửi 19-11-2016 - 16:38

Các bạn nên đọc kĩ phần chú ý của topic nhé
Gõ latex. Đây cũng là nội quy chung của diễn đàn trong 24h tới các bạn không sử bài mình sẽ báo cáo hết :D
Mong các bạn tuân thủ. :closedeyes: :closedeyes: :closedeyes:



Cảm ơn bạn, nhưng mình ko biết gõ latex và xoá bài viết. Mình sẽ sửa lại.

#22 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 19-11-2016 - 16:42

Cảm ơn bạn, nhưng mình ko biết gõ latex và xoá bài viết. Mình sẽ sửa lại.

http://diendantoanho...-dụng-diễn-đàn/
Bạn vào đấy tham khảo nhé đừng đăng(spam) ở topic này



#23 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 19-11-2016 - 17:22

  • Bài 22 : [Ukraine 1992]

Cho $a\geq b\geq c>0$. Chứng minh rằng : 

$\frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\geq 3a-4b+c$

  • Bài 23 : [IMO Shortlist 1993]

Cho a, b, c, d là các số thực dương . Chứng minh rằng : 

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$

  • Bài 24 : [Italia 1993]

Cho a, b, c $\in [0,1]$. Chứng minh rằng : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

 

  • Bài 25 : [Poland 1993] 

Cho x, y, u, v > 0. Chứng minh rằng : 

$\frac{xy+xv+yu+uv}{x+y+u+v}\geq \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v}$



#24 mathsomega

mathsomega

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Văn học

Đã gửi 19-11-2016 - 17:40

 

  • Bài 22 : [Ukraine 1992]

Cho $a\geq b\geq c>0$. Chứng minh rằng : 

$\frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\geq 3a-4b+c$

  • Bài 23 : [IMO Shortlist 1993]

Cho a, b, c, d là các số thực dương . Chứng minh rằng : 

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$

  • Bài 24 : [Italia 1993]

Cho a, b, c $\in [0,1]$. Chứng minh rằng : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

 

  • Bài 25 : [Poland 1993] 

Cho x, y, u, v > 0. Chứng minh rằng : 

$\frac{xy+xv+yu+uv}{x+y+u+v}\geq \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v}$

 

Bài 23:

Theo bđt Bunhiacopski và bđt Cauchy, ta có:

$3\left ( \sum a \right )^2\geq 8\sum ab (1)$

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^2}{\sum 4ab}\geq \frac{2}{3}$

(do (1)) (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 22-11-2016 - 17:31


#25 loolo

loolo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Hưng Đạo

Đã gửi 19-11-2016 - 17:58

Bài 23:

Chứng minh bổ đề: $3(a+b+c+d)^{2}\geq 8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \sum \frac{a^{2}}{ab+2ac+3ad}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{\frac{3}{2}(a+b+c+d)^{2}}=\frac{2}{3}$


 


#26 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 21-11-2016 - 12:29

  • Bài 26 : [Poland 1996]

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$



#27 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 21-11-2016 - 13:51

 

  • Bài 26 : [Poland 1996]

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

 

Có đánh giá sau:  $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{36a+3}{50} <=> (3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$

Tương tự với các phân thức còn lại 



#28 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 22-11-2016 - 13:37

  • Bài 27: [Belarus 1998]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{b}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$



#29 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 22-11-2016 - 19:31

Có đánh giá sau:  $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{36a+3}{50} <=> (3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$

Tương tự với các phân thức còn lại 

Số thực bạn nhé 



#30 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 22-11-2016 - 19:42

 

  • Bài 26 : [Poland 1996]

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

 

$a,b,c \in \mathbb{R} \Rightarrow$ tồn tại $a,b$ cùng lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ và ngược lại 
Khi đó $(a-\frac{1}{3})(b-\frac{1}{3}) \ge 0 \Rightarrow a^2+b^2 \le (a+b-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{9}=(\frac{2}{3}-c)^2+\frac{1}{9}$ 
BĐT C/m $\Leftrightarrow \sum \frac{(a-1)^2}{a^2+1} \ge \frac{4}{5}$  
Có $ \frac{(a-1)^2}{a^2+1}+ \frac{(b-1)^2}{b^2+1} \ge \frac{(a+b-2)^2}{a^2+b^2+2} \ge \frac{(c+1)^2}{(\frac{2}{3}-c)^2+\frac{1}{9}}$ 
Ta sẽ đi chứng minh  $\frac{(c+1)^2}{(\frac{2}{3}-c)^2+\frac{1}{9}}+\frac{(c-1)^2}{c^2+1} \ge \frac{4}{5}$ 
$\Leftrightarrow (3c-1)^2(2c^2+2c+11) \ge 0$ (đúng) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 22-11-2016 - 19:44


#31 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 22-11-2016 - 20:12

  • Bài 27: [Korea 2000]

Cho các số thực a, b, c, x, y, z thoả mãn $a\geq b\geq c>0$ và $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}x^{2}}{(by+cz)(bz+cy)}\geq \frac{3}{4}$



#32 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 22-11-2016 - 20:15

  • Bài 28:  [Bulgaria 1997]

Cho a, b, c > 0; abc = 1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{1+a+b}\leq \frac{1}{a+2}$



#33 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 22-11-2016 - 20:43

 

  • Bài 24 : [Italia 1993]

Cho a, b, c $\in [0,1]$. Chứng minh rằng : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

 

 

 

BĐT c/m $\Leftrightarrow a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a) \le 1$ (1)
$a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a) \le a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)$ (2)
Mà $(1-a)(1-b)(1-c) \ge 0 \Rightarrow 1-abc \ge a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)$  (3) 
(1)+(2)+(3) $\Rightarrow$ đpcm



#34 nguyen cong dat

nguyen cong dat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thcs kim hong
  • Sở thích:bdt

Đã gửi 23-11-2016 - 21:05

Có đánh giá sau:  $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{36a+3}{50} <=> (3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$
Tương tự với các phân thức còn lại

Bạn dùng ppUCT hả

#35 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 23-11-2016 - 23:20

Bạn dùng ppUCT hả

Bạn ấy dùng UCT nhưng sai rồi vì điều kiện a, b, c là số thực.
Tiếp tục với topic :

  • Bài 29: [Vo Quoc Ba Can, Viet Nam IMO training camp 2009]

Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho a + b + c > 0. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{3}\leq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{^{2}}}\leq \frac{1}{2}$



#36 nguyen cong dat

nguyen cong dat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thcs kim hong
  • Sở thích:bdt

Đã gửi 25-11-2016 - 15:48

bai 29

 ta cm $\frac{1}{3}\leq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+(b+c)^{2})}$

cm bdt phu $(b+c)^{2}\leq 3(b^{2}+c^{2})(1) \Leftrightarrow b^{2}-bc+c^{2}\geq 0(dung) \Rightarrow (1) dung$

bdt da cho tuong duong$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \sum\frac{a^{2}}{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}= \frac{1}{3}$

 

cm $\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq \frac{1}{2}$

ta chuan hoa a+b+c=1

bdt da cho tuong duong$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( 1-a \right )^{2}}\leq\frac{1}{2}$

ta co $\frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( 1-a \right )^{2}}\leq \frac{a}{2}$ (vi $-a\left ( 2a-1 \right )^{2}\leq 0\left ( 2 \right )$

tuong tu ta co

$\frac{b^{2}}{3b^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}}\leq\frac{b}{2}$(3)

$\frac{c^{2}}{3c^{2}+\left ( 1-c \right )^{2}}\leq \frac{c}{2}$(4)

tu (2),(3),(4)$\Rightarrow$  $\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq \frac{1}{2}$



#37 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 25-11-2016 - 23:16

Tiếp tục:

  • Bài 30: [Trần Nam Dũng, VMO 2008]

Cho x, y, z là các số thực không âm. thoả mãn xy + yz + xz khác 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{(x-y)^2}\geq \frac{4}{xy+yz+zx}$



#38 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 26-11-2016 - 00:00

  • Bài 31: [UK 2005]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}$

 

Ý kiến cá nhân: bài này tương đối khó!  ~O)  ~O)  ~O)



#39 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 26-11-2016 - 00:06

  • Bài 32: [Iran 2008]

Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = 1.Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{a^{3}+a}\geq 2\sqrt{a+b+c}$



#40 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 26-11-2016 - 08:47

 

  • Bài 32: [Iran 2008]

Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = 1.Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{a^{3}+a}\geq 2\sqrt{a+b+c}$

 

Bài 32 : 

  • ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $ \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
  • ta sử dụng BĐT Jensen cho ham $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ta được $ \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{\sum_{sym} a^2b}{a+b+c}}}$ 
  • lúc đó ta cần chứng minh $ (a+b+c)^2(\sum_{sym} a^2b+2abc)\geq 4(ab+bc+ca)(\sum_{sym} a^2b)$ không mất tổng quát  ta giả sử $c=min{a,b,c}$ 
  • ta có thể viết bất đẳng thức trên thành$ (a-b)^2(a^2b+b^2a+a^2c+b^2c-ac^2-bc^2)+c^2(a+b)(c-a)(c-b)\geq 0$

myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: imo, olympiad, kvant, imo shortlist, tst, jbmo, apmo, mosp, balkan

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh