Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 3 Bình chọn

Bất đẳng thức qua các kì thi toán quốc tế

imo olympiad kvant imo shortlist tst jbmo apmo mosp balkan

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 64 trả lời

#41 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 26-11-2016 - 19:23

Tiếp tục:

  • Bài 30: [Trần Nam Dũng, VMO 2008]

Cho x, y, z là các số thực không âm. thoả mãn xy + yz + xz khác 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{(x-y)^2}\geq \frac{4}{xy+yz+zx}$

không mất tổng quát : giả sử $ z=min\left\{x,y,z\right\}$

ta có  $\sum \frac{1}{(x-y)^{2}}-\frac{4}{xy+yz+zx}$

$=\frac {[(x-z)^2-3(x-z)(y-z)+(y-z)^2]^2}{(x - y)^2(y-z)^2(z-x)^2}$

$+\frac{4z(2x+2y-z)}{(x-z)(y-z)[3z^2+2z(x+y-2z)+(x-z)(y-z)]}\ge 0.$
em từng đọc bài này hồi năm 2015 nên nhớ :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dungxibo123: 26-11-2016 - 19:26

myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#42 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 26-11-2016 - 19:33

Đóng góp:

Bài 33 (Azerbaijan JBMO TST 2015): cho $a,b,c \in \mathbb{R}^{+}$ thỏa $ a+b+c=1$

tìm chứng minh  $\sum \frac{7+2b}{1+a}\geq \frac{69}{4}$

p/s: em vẫn chưa giải ra ạ ~~ 


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#43 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 26-11-2016 - 20:22

Lời giải bài 33 : [Azerbaijan JBMO TST 2015]

 

$VT=2\left ( \sum \frac{1+a}{1+c} \right )+5\left ( \sum \frac{1}{1+a} \right )$

$\geq 2.3\sqrt{\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{(1+a)(1+b)(1+c)}}+\frac{5.9}{1+a+1+b+1+c}=\frac{69}{4}$



#44 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 26-11-2016 - 20:50

Tiếp tục :

 

Bài 34: [APMO 2005]

 

Cho a, b, c > 0; abc =8 . Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(a^{3}+1)(b^{3}+1)}}\geq \frac{4}{3}$



#45 nguyen cong dat

nguyen cong dat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thcs kim hong
  • Sở thích:bdt

Đã gửi 26-11-2016 - 21:17

không mất tổng quát : giả sử $ z=min\left\{x,y,z\right\}$

ta có  $\sum \frac{1}{(x-y)^{2}}-\frac{4}{xy+yz+zx}$

$=\frac {[(x-z)^2-3(x-z)(y-z)+(y-z)^2]^2}{(x - y)^2(y-z)^2(z-x)^2}$

$+\frac{4z(2x+2y-z)}{(x-z)(y-z)[3z^2+2z(x+y-2z)+(x-z)(y-z)]}\ge 0.$
em từng đọc bài này hồi năm 2015 nên nhớ :)

http://diendantoanho...cau-6-vmo-2008/ cac ban tham khao them



#46 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 26-11-2016 - 21:20

Tiếp tục :

 

Bài 34: [APMO 2005]

 

Cho a, b, c > 0; abc =8 . Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(a^{3}+1)(b^{3}+1)}}\geq \frac{4}{3}$

có : $\frac{a^2 + 2}{2} = \frac{(a^2 - a + 1) + (a + 1)}{2} \geq \sqrt{(a^2 - a + 1)(a + 1)} = \sqrt{a^3 + 1}$ sau đó: bất đẳng thức cần chứng minh trở về 

 

$\sum \frac{a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}\geq \frac{1}{3}$ ( bất đẳng thức dễ chứng minh khi quy đồng bung hết ra và dùng AM-GM ạ )

myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#47 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 27-11-2016 - 12:38

Tiếp tục:

Bài 35: [Turkish TST 2007]

 

Cho a, b, c > 0; a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{ab++2c+2c^{2}}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$



#48 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 27-11-2016 - 18:50

Lời giải bài 31 : [UKMO 2005]

 

Không mất tính tổng quát giả sử c = min{a,b,c}.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 

$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{a+b+c}{b}\left ( \frac{b}{a}+1+\frac{b}{c} \right )\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a+b+c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1 \right )^{2}$

Ta cần phải chứng minh:

$2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq \frac{a+b+c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1$

$\Leftrightarrow (a-c)\left ( \frac{1}{b}+\frac{b}{ac}-\frac{2}{a} \right )\geq 0$

Luôn đúng vì: 

$a-c\geq 0$ và $\frac{1}{b}+\frac{b}{ac}\geq \frac{2}{\sqrt{ac}}\geq \frac{2}{a}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.                                                                                                                                           $\square$



#49 nguyen cong dat

nguyen cong dat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thcs kim hong
  • Sở thích:bdt

Đã gửi 27-11-2016 - 19:13

Lời giải bài 31 : [UKMO 2005]

 

Không mất tính tổng quát giả sử c = min{a,b,c}.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 

$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{a+b+c}{b}\left ( \frac{b}{a}+1+\frac{b}{c} \right )\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a+b+c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1 \right )^{2}$

Ta cần phải chứng minh:

$2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq \frac{a+b+c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1$

$\Leftrightarrow (a-c)\left ( \frac{1}{b}+\frac{b}{ac}-\frac{2}{a} \right )\geq 0$

Luôn đúng vì: 

$a-c\geq 0$ và $\frac{1}{b}+\frac{b}{ac}\geq \frac{2}{\sqrt{ac}}\geq \frac{2}{a}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.                                                                                                                                           $\square$

bạn ơi phương pháp này là phuong pháp gì vậy ,mình thấy nhiều trên diễn dàn mà ko biết sd



#50 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 27-11-2016 - 22:24

Tiếp tục : 

 

Bài 36 : [Mongolia 2007]

 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}}$



#51 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 28-11-2016 - 08:48

Lời giải bài 31 : [UKMO 2005]

 

Không mất tính tổng quát giả sử c = min{a,b,c}.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 

$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{a+b+c}{b}\left ( \frac{b}{a}+1+\frac{b}{c} \right )\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a+b+c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1 \right )^{2}$

Ta cần phải chứng minh:

$2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq \frac{a+b+c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1$

$\Leftrightarrow (a-c)\left ( \frac{1}{b}+\frac{b}{ac}-\frac{2}{a} \right )\geq 0$

Luôn đúng vì: 

$a-c\geq 0$ và $\frac{1}{b}+\frac{b}{ac}\geq \frac{2}{\sqrt{ac}}\geq \frac{2}{a}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.                                                                                                                                           $\square$

có thể tham khảo cách làm trong sách của Thầy Võ Quốc Bá Cẩn ( Cauchy- Schwarz)


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#52 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 28-11-2016 - 16:28

1 cách giải khác cho bài 31: 
http://diendantoanho...-2005/?p=663282



#53 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 28-11-2016 - 16:37

Lời giải bài 36:

https://www.facebook...57524429&type=3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 28-11-2016 - 16:39


#54 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 28-11-2016 - 22:11

Đáp án bài 27 :

http://diendantoanho...yzxy1/?p=663271



#55 Uchiha Sasuke 88

Uchiha Sasuke 88

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Đã gửi 01-12-2016 - 20:28

Câu 1 nếu khai triển ra là bđt Schur bậc 3 nên có thể giải được

$a^{2}b+a^{2}c+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}a+c^{2}b\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

$\Leftrightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\geq 0$



#56 Uchiha Sasuke 88

Uchiha Sasuke 88

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Đã gửi 01-12-2016 - 20:39

Em xin đóng góp bài 12

Nếu  $x\geq 1$ thì $x^{4}\geq x$ suy ra Đpcm

Nếu x$\leq 1$ thì 

$x\leq \frac{1}{2} \Rightarrow VP\leq 0 \Rightarrow dpcm$

$x\geq \frac{1}{2}: x^{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\geq x^{2}+\frac{1}{4}\geq x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 02-12-2016 - 17:41


#57 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 06-12-2016 - 09:49

Bài 37:  Cho a,b,c thuộc đoạn [-2;3] và a+b+c=2. CMR:

 

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 14\]



#58 takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-12-2016 - 10:52

Bài 37:  Cho a,b,c thuộc đoạn [-2;3] và a+b+c=2. CMR:

 

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 14\]

Không mất tỉnh tổng quát, giả sử $-2\leq a\leq b\leq c\leq 3$.

Ta có $a^2+b^2+c^2=c\left ( c-b \right )+\left ( c+b \right )\left ( b-a \right )+\left ( a+b+c \right )a\leq 3\left ( c-b \right )+4\left ( b-a \right )+2a=3c+b-2a=2+2c-3a\leq 2+6-\left ( -6 \right )=14$

Đẳng thức xảy ra khi $\left ( a,b,c \right )=\left ( -2;1;3 \right )$ và các hoán vị của chúng.



#59 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 06-12-2016 - 12:42

Bài 37:  Cho a,b,c thuộc đoạn [-2;3] và a+b+c=2. CMR:

 

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 14\]

Bạn có đọc kĩ nội quy của topic này chưa? Bài này có nguồn từ đâu? có phải trên các tạp chí hay các kì thi? 



#60 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 07-12-2016 - 17:06

Bài 38 : ( Polish MO 2009) 

cho $n \geq 1$ và $ a,b,c>0$

chứng minh $\sum \frac{a^{n+1}}{b+c}\geq(\sum \frac{a^{n}}{b+c})\sqrt[n]{\frac{\sum a^{n}}{3}}$


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: imo, olympiad, kvant, imo shortlist, tst, jbmo, apmo, mosp, balkan

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh