Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 3 Bình chọn

Bất đẳng thức qua các kì thi toán quốc tế

imo olympiad kvant imo shortlist tst jbmo apmo mosp balkan

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 64 trả lời

#61 mathsomega

mathsomega

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Văn học

Đã gửi 11-12-2016 - 14:57

 

  • Bài 27: [Belarus 1998]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{b}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

 

bất đẳng thức cần cm tương đương với

$(b+c)\sum \frac{a}{b}\geq (b+c)(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1)$
$\Leftrightarrow a+b+\frac{ac}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{cb}{a}\geq a+2b+c+\frac{(b+c)^{2}}{a+b}$
$\Leftrightarrow \frac{ac}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{cb}{a}\geq b+c+\frac{(b+c)^{2}}{a+b}$
Bđt cuối cùng đúng theo hai bđt AM-GM và Cauchy-Schwarz:
$\frac{ac}{b}+\frac{cb}{a}\geq 2c ; \frac{b^{2}}{c}+c\geq 2b; b+\frac{c^2}{a} \geq \frac{b+c}{a+b}$
=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathsomega: 11-12-2016 - 14:58


#62 mathsomega

mathsomega

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Văn học

Đã gửi 11-12-2016 - 15:48

Tiếp tục : 

 

Bài 36 : [Mongolia 2007]

 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}}$

Bổ đề:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{\sqrt[3]{abc}}$

C/m: Không mất tính tổng quát, chuẩn hoá abc=1, bổ đề tương đương với:

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2} \geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{2a}{c}) \geq 3.\sum a^{2}$

Bđt cuối hiển nhiên đúng theo AM-GM với abc=1

Áp dụng bổ đề trên cùng với bđt sau, ta có đpcm.

$ab+bc+ca \geq \sqrt[3]{(abc)^{2}}$ (AM-GM)

 

(P/S:Giờ mình mới để ý là có người sửa rồi)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathsomega: 11-12-2016 - 15:51


#63 mathsomega

mathsomega

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Văn học

Đã gửi 11-12-2016 - 16:08

Đóng góp:

BÀI 39:(2017)(MÌnh ko rõ nguồn)

Cho X1,X2,...,Xn>0 (n>2).Dat

A=$\sum_{i=1}^{n}Xi$;
B=$\sum_{i=1}^{n}Xi^{2}$;
C=$\sum_{i=1}^{n}Xi^{3}$.
CMR: 
$(n+1)A^{2}B+(n-2)B^{2}-(2n-2)AC \geq A^{4}$

 

 

P/S: Hiện tại mình vẫn chưa giải ra.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathsomega: 11-12-2016 - 16:25


#64 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-08-2017 - 21:54

Lời giải bài 31 : [UKMO 2005]

 

Không mất tính tổng quát giả sử c = min{a,b,c}.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 

$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{a+b+c}{b}\left ( \frac{b}{a}+1+\frac{b}{c} \right )\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a+b+c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1 \right )^{2}$

Ta cần phải chứng minh:

$2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq \frac{a+b+c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1$

$\Leftrightarrow (a-c)\left ( \frac{1}{b}+\frac{b}{ac}-\frac{2}{a} \right )\geq 0$

Luôn đúng vì: 

$a-c\geq 0$ và $\frac{1}{b}+\frac{b}{ac}\geq \frac{2}{\sqrt{ac}}\geq \frac{2}{a}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.                                                                                                                                           $\square$

Bất đẳng thức tương đương với : $$\sum\dfrac{a^2}{b^2}+\sum\dfrac{b}{a}\ge 3+\sum\dfrac{a}{b}$$

Ta lại có $$\dfrac{a^2}{b^2}+1-\dfrac{2a}{b}=\dfrac{(a-b)^2}{b^2}\iff \dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{(a-b)^2}{b^2}+\dfrac{2a}{b}-1$$

Khi đó BĐT tương đương vơi:

$$\sum\dfrac{(a-b)^2}{b^2}+\sum(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})\ge 6 (*)$$

BĐT (*) hiển nhiên đúng. Do đó ta có điều phải chứng minh.


Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#65 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-08-2017 - 22:07

 

  • Bài 31: [UK 2005]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}$

 

Ý kiến cá nhân: bài này tương đối khó!  ~O)  ~O)  ~O)

 

Bất đẳng thức tương đương với : $$\sum\dfrac{a^2}{b^2}+\sum\dfrac{b}{a}\ge 3+\sum\dfrac{a}{b}$$

Ta lại có $$\dfrac{a^2}{b^2}+1-\dfrac{2a}{b}=\dfrac{(a-b)^2}{b^2}\iff \dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{(a-b)^2}{b^2}+\dfrac{2a}{b}-1$$

Khi đó BĐT tương đương vơi:

$$\sum\dfrac{(a-b)^2}{b^2}+\sum(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})\ge 6 (*)$$

BĐT (*) hiển nhiên đúng. Do đó ta có điều phải chứng minh.


Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: imo, olympiad, kvant, imo shortlist, tst, jbmo, apmo, mosp, balkan

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh