Chủ đề này có 1 trả lời

[trungvu1431]

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt (O1) và (O2) lần lượt tại C,D(B nằm giữa C,D). Đường thẳng MC cắt (O1) tại P khác C. Đường thẳng MD cắt (O2) tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh MO vuông góc EF

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungvu1431: 18-11-2016 - 23:38

[Bonjour]

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt (O1) và (O2) lần lượt tại C,D(B nằm giữa C,D). Đường thẳng MC cắt (O1) tại P khác C. Đường thẳng MD cắt (O2) tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh MO vuông góc EF

Trước tiên có bổ đề :

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ có $AB\cap CD=E ,BC\cap DA=F,AC\cap BD=I$ thì 

    $EF^2=\textit{P}_{E/(O)}+P_{F/(O)}$

    $EI^2=\textit{P}_{E/(O)}+P_{I/(O)}$

    $FI^2=\textit{P}_{F/(O)}+P_{I/(O)}$ 

Trở lại bài toán thì $ME^2-MF^2=P_{M/(O1)}+P_{E/(O1)}-P_{M/(O2)}-P_{F/(O2)}=P_{E/(O1)}-P_{F/(O2)}$

 Mà $(O1)$ và $(ADC)$ có trục đẳng phương là $CA$ mà $E$ nằm trên đó nên $P_{E/(O1)}=P_{E/(ADC)}$

Tương tự thì $P_{F/(O2)}=P_{F/(ADC)}$ nên $P_{E/(O1)}-P_{F/(O2)}=OE^2-OF^2$

Do đó $ME^2-MF^2=OE^2-OF^2$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 20-11-2016 - 00:26