Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

viết khai triển maclaurin của hàm tanx và arccotx


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 ducthanh98

ducthanh98

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 19-11-2016 - 21:29

như tiêu đề ạ.moi người giúp mình với. viết đến đạo hàm cấp 8 mà vẫn ko công thức tổng quát 



#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 20-11-2016 - 09:55

như tiêu đề ạ.moi người giúp mình với. viết đến đạo hàm cấp 8 mà vẫn ko công thức tổng quát 

Một lời giải tương đối cho khai triển $\tan x$. Cho dù có những điểm thiếu chặt chẽ (do không làm rõ một số các kết quả liên quan)... nhưng nó có thể xem như một dự đoán.

 

Bản thảo!

 

Vì $\int_0^x \tan{t}dt= \ln \cos{x}=  \ln {[1-(1-\cos{x})]} = \ln{(1-2\sin^2\frac{x}{2})}.$

Hơn nữa, 

$$\ln{(1+u)}= u- \frac{u^2}{2}+ ...+ (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}+O(u^n).$$

Dùng thêm khai triển cho \sinu, cùng nhị thức Newton để cho ra kết quả khai triển $\int_0^x \tan{t}dt$, và sau cùng lấy đạo hàm, ta được kết quả.

 

----------------------

Vì $arctan x= \int_0^x \frac{1}{1+t^2}dt$ nên ta dựa vào khai triển của $\frac{1}{1+t^2}$ để suy ra kết quả.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 20-11-2016 - 18:19

Đời người là một hành trình...


#3 ducthanh98

ducthanh98

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 20-11-2016 - 20:47

Một lời giải tương đối cho khai triển $\tan x$. Cho dù có những điểm thiếu chặt chẽ (do không làm rõ một số các kết quả liên quan)... nhưng nó có thể xem như một dự đoán.

 

Bản thảo!

 

Vì $\int_0^x \tan{t}dt= \ln \cos{x}=  \ln {[1-(1-\cos{x})]} = \ln{(1-2\sin^2\frac{x}{2})}.$

Hơn nữa, 

$$\ln{(1+u)}= u- \frac{u^2}{2}+ ...+ (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}+O(u^n).$$

Dùng thêm khai triển cho \sinu, cùng nhị thức Newton để cho ra kết quả khai triển $\int_0^x \tan{t}dt$, và sau cùng lấy đạo hàm, ta được kết quả.

 

----------------------

Vì $arctan x= \int_0^x \frac{1}{1+t^2}dt$ nên ta dựa vào khai triển của $\frac{1}{1+t^2}$ để suy ra kết quả.

bác có thể giải thích cho mình dòng nguyên hàm tantdt đc ko?mình đọc mà ko hiểu gì hết  @@



#4 Sseurekiii

Sseurekiii

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 21-10-2018 - 09:12

bác có thể giải thích cho mình dòng nguyên hàm tantdt đc ko?mình đọc mà ko hiểu gì hết @@

Bác viết tanx thành sinx/cosx rồi đặt cosx=t
Đạo hàm 2 vế - sinxdx=dt
Thay vào nguyên hàm ta được như trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sseurekiii: 21-10-2018 - 09:16


#5 Isidia

Isidia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đã gửi 22-11-2019 - 09:28

Cách đơn giản nhất để khai triển hàm $\tan(x)$ là viết nó thành $\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ rồi khai triển cả $\sin(x)$ và $\cos(x)$, sau đó sử dụng phép chia chuỗi lũy thừa:
 
$\tan(x)=\dfrac{x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dfrac{x^9}{9!}-O(x^{11})}{1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\dfrac{x^8}{8!}-O(x^{10})}$
 
Sau khi chia xong bạn sẽ có chuỗi $\tan(x)=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+\dfrac{17x^7}{315}+\dfrac{62x^9}{2835}+\dfrac{1382x^{11}}{155925}+O(x^{13})$
 
Tuy nhiên cách làm này không làm sáng tỏ được liên hệ giữa hệ số chuỗi Maclaurin của hàm $\tan(x)$ với số Bernoulli. Cách hay hơn là truy hồi công thức tổng quát:
 
$$\tan x = \sum_{n\,=\,1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n}} {(2n)!} x^{2n - 1} $$
 
Cách này được liệt kê ở đây:
 
Còn về hàm $arccot(x)$, hàm số thực này tương đương với $arctan(\frac{1}{x})$ nên hàm không được định nghĩa khi $x=0$, do đó nó không có chuỗi Maclaurin. Vấn đề này tương tự như với hàm ngược hyperbolic $arcosh(x)$
 
 
Cách thứ ba là lấy tích phân chuỗi Maclaurin của hàm $\sec^2(x)$. Để tính chuỗi của hàm này bạn phải tìm chuỗi của hàm $cos^2(x)$ rồi lấy một chia cho chuỗi ấy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Isidia: 25-11-2019 - 11:17

This business of series, the most disagreeable thing mathematics, is no more than a game for the English, this book and that of M.de Moivre are the proof.

Cette affaire des suites qui est tout ce qu'il ly a de plus desagreable dans les mathematiques n'est qu'un jeu pour les Anglais, ce livre et celui de Moivre en sont une preuve.

- Pierre Louis Maupertuis

 

My passion is infinite series





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh