Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tuần 4 tháng 11/2016 : Trục đẳng phương đi qua trực tâm

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 408 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-11-2016 - 20:38

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 11 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ vơí trực tâm $H$ và trung tuyến $AM$. Dựng $L$ sao cho $A$ là trọng tâm tam giacs $LBC$. Trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính $LH$ và $(O)$ lấy $P$ sao cho $HP\parallel BC$. $K$ là hình chiếu của $P$ lên $OH$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của đường tròn đường kính $OK$ và đường tròn Euler của tam giác $ABC$ đi qua $H$.



#2 Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ninh

Đã gửi 20-11-2016 - 23:39

Lời giải :
Bài toán trên là sự kết hợp của hai bài toán con như sau:
Bài 1: Cho $\triangle LBC$ với trọng tâm $A$. Gọi $H$ là trực tâm $\triangle ABC$ và $HB, HC$ thứ tự cắt $AC, AB$ tại $E, F$. Khi đó $EF$ là trục đẳng phương của $(ABC)$ và $(LH)$.
Lời giải: Kẻ $LK \perp HB$, tức là $LK \perp CA$. Do $CA$ chia đôi $LB$ nên $F$ là trung điểm $KB$. Do đó $\mathbb{P}_{F/(ABC)}= \overline{FA}.\overline{FC}=-\overline{FB}.\overline{FH}=\overline{FK}.\overline{FH}=\mathbb{P}_{F/(LH)}$. Do đó $F$ thuộc trục đẳng phương của $(ABC)$ và $(LK)$. Tương tự xét điểm $E$ ta có đpcm.
Bài 2: Cho $\triangle ABC$ với trực tâm $H$ và nội tiếp $(O)$. $BH, CH$ cắt $AC, AB$ tại $E, F$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $H$ song song $BC$. $EF$ cắt $d$ tại $L$. Gọi $K$ là hình chiếu của $L$ trên $OH$. Khi đó $H$ thuộc trục đẳng phương của đường tròn $(OK)$ và đường tròn Euler của $\triangle ABC$.
Lời giải: Gọi $M$ là trung điểm $BC$. $OM$ cắt $d$ tại $N$. Do đó $\overline{HO}.\overline{HK}=\overline{HL}.\overline{HN}$(1). Lấy $P$ thuộc $(O)$ sao cho $AP \parallel BC$. Kẻ $PQ \perp BC$ với $Q \in d$. Khi đó $BHQC$ là hình thang cân nên $Q \in (BHC)$. Xét phép nghịch đảo cực $H$, phương tích $\overline{HE}.\overline{HB}$: $\mathbb{I}_{H}^{\overline{HE}.\overline{HB}}$ biến $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$, $d \leftrightarrow d$. Do đó $L=EF \cap d \leftrightarrow (BHC) \cap d$. Suy ra $L, Q, E, B$ đồng viên. Suy ra $\overline{HN}.\overline{HL}=\frac{1}{2} \overline{HL}.\overline{HQ}=\frac{1}{2}.\overline{HE}.\overline{HB} = \mathbb{P}_{H/(Euler)}$(2). Từ (1) và (2) ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 21-11-2016 - 00:11


#3 vda2000

vda2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 297 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{Bac Giang gifted High School}}$
  • Sở thích:$\boxed{\boxed{\rightarrow\bigstar\epsilon\delta\mu\bigstar\leftarrow}}$

Đã gửi 24-11-2016 - 11:27

Ta chứng minh hai sự kiện sau:
 
1) $EF$ là trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn đường kính $LH$ với $E,F$ là chân đường cao hạ từ $B,C$ xuống $AC,AB$.
PART1.jpg
Gọi $d$ là trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn đường kính $LH$, $R$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AH$ với $(O)$, khác $A$ và $Z$ là chân đường vuông góc hạ từ $H$ xuống $AM$
Gọi $U,V$ lần lượt là trung điểm của: $LH,LA$, ta có một số điều sau suy ra từ đường trung bình trong tam giác:
$UV//AH//OM$ và $UV=OM=\frac{AH}{2}$, suy ra $UVOM$ là hình bình hành, suy ra $U,A,O$ thằng hàng.
Xét $3$ đường tròn sau: đường tròn đường kính $AH$, đường tròn đường kính $LH$ và đường tròn $(O)$, suy ra:
$d$, $AR$, $HZ$ đồng quy.
Theo một kết quả khá quen thuộc, ta có: $AR,HZ,EF,BC$ cùng đi qua điểm $S$ nên $S$ thuộc $d$.
Mà: $d\bot UO\equiv AO$, $EF\bot AO$ nên ta có: $d\equiv EF$, ta chứng minh xong sự kiện thứ nhất.
 
2) Ta sẽ chứng minh kết quả của bài toán.
Gọi $J,M$ lần lượt là trung điểm của $AH,BC$ $ON\bot PH$, $H'$ đối xứng với $H$ qua $OM$
Bằng cách lược bỏ đi một số điểm không cần thiết như $L,K,...$, ta có hình sau:
PART2.jpg
Điều phải chứng minh tương đương với:
$HK.HO=HJ.HD$

Spoiler

Hay điều phải chứng minh tương đương với: $\frac{SB}{BE}=\frac{HB}{HH'}$, nhưng điều này luôn đúng vì:
$\widehat{SBE}=\widehat{BHH'}$ và $\widehat{SEB}=\widehat{HCB}=\widehat{BH'H}$.
Vậy ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 24-11-2016 - 11:28

$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$

If you see this, you will visit my facebook.....!






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh